Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9454 / 7062
↖ ↑ ↗
← N 24.086589°
E 27.729492°		 ← 2 230.48 m → N 24.086589°
E 27.751465°		 →
↑
2 230.68 m
↓
↑
2 230.68 m
↓
N 24.066528°
E 27.729492°		 ← 2 230.83 m →
4 975 880 m²		 N 24.066528°
E 27.751465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.577056884765625 y=0.431060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.577056884765625 × 214)
    floor (0.577056884765625 × 16384)
    floor (9454.5)     		tx = 9454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431060791015625 × 214)
    floor (0.431060791015625 × 16384)
    floor (7062.5)     		ty = 7062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9454 / 7062 ti = "14/9454/7062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9454/7062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9454 ÷ 214
    9454 ÷ 16384     		x = 0.5770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7062 ÷ 214
    7062 ÷ 16384     		y = 0.4310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5770263671875 × 2 - 1) × π
    0.154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48397094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.433349572565308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48397094} λ = 0.48397094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433349572565308))-π/2
    2×atan(1.54241531254686)-π/2
    2×0.995593307457583-π/2
    1.99118661491517-1.57079632675     		φ = 0.42039029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48397094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.729492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42039029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.086589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9454 KachelY 7062 0.48397094 0.42039029 27.729492 24.086589
    Oben rechts KachelX + 1 9455 KachelY 7062 0.48435443 0.42039029 27.751465 24.086589
    Unten links KachelX 9454 KachelY + 1 7063 0.48397094 0.42004016 27.729492 24.066528
    Unten rechts KachelX + 1 9455 KachelY + 1 7063 0.48435443 0.42004016 27.751465 24.066528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42039029-0.42004016) × R
    0.000350130000000004 × 6371000     		dl = 2230.67823000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42039029-0.42004016) × R
    0.000350130000000004 × 6371000     		dr = 2230.67823000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48397094-0.48435443) × cos(0.42039029) × R
    0.000383489999999986 × 0.912929725945402 × 6371000     		do = 2230.48340866037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48397094-0.48435443) × cos(0.42004016) × R
    0.000383489999999986 × 0.913072563916191 × 6371000     		du = 2230.83239250318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42039029)-sin(0.42004016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912929725945402-0.913072563916191)×R²
    abs(0.48435443-0.48397094)×0.000142837970788956×R²
    0.000383489999999986×0.000142837970788956×6371000²
    0.000383489999999986×0.000142837970788956×40589641000000     		ar = 4975880.06823839m²