Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 945 / 622
↖ ↑ ↗
← N 57.515823°
W 13.886718°		 ← 10.497 km → N 57.515823°
W 13.710937°		 →
↑
10.511 km
↓
↑
10.511 km
↓
N 57.421295°
W 13.886718°		 ← 10.525 km →
110.483 km²		 N 57.421295°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461669921875 y=0.303955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461669921875 × 211)
    floor (0.461669921875 × 2048)
    floor (945.5)     		tx = 945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303955078125 × 211)
    floor (0.303955078125 × 2048)
    floor (622.5)     		ty = 622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 945 / 622 ti = "11/945/622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/945/622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 945 ÷ 211
    945 ÷ 2048     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 622 ÷ 211
    622 ÷ 2048     		y = 0.3037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3037109375 × 2 - 1) × π
    0.392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2333205534248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2333205534248))-π/2
    2×atan(3.43260879400432)-π/2
    2×1.28731840388673-π/2
    2.57463680777346-1.57079632675     		φ = 1.00384048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00384048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.515823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 945 KachelY 622 -0.24236896 1.00384048 -13.886718 57.515823
    Oben rechts KachelX + 1 946 KachelY 622 -0.23930100 1.00384048 -13.710937 57.515823
    Unten links KachelX 945 KachelY + 1 623 -0.24236896 1.00219065 -13.886718 57.421295
    Unten rechts KachelX + 1 946 KachelY + 1 623 -0.23930100 1.00219065 -13.710937 57.421295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00384048-1.00219065) × R
    0.00164983000000007 × 6371000     		dl = 10511.0669300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00384048-1.00219065) × R
    0.00164983000000007 × 6371000     		dr = 10511.0669300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.23930100) × cos(1.00384048) × R
    0.00306795999999998 × 0.537066676792603 × 6371000     		do = 10497.4908497185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.23930100) × cos(1.00219065) × R
    0.00306795999999998 × 0.538457642488981 × 6371000     		du = 10524.6786278864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00384048)-sin(1.00219065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537066676792603-0.538457642488981)×R²
    abs(-0.23930100--0.24236896)×0.00139096569637787×R²
    0.00306795999999998×0.00139096569637787×6371000²
    0.00306795999999998×0.00139096569637787×40589641000000     		ar = 110482740.257065m²