Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 945 / 537
↖ ↑ ↗
← N 64.699105°
W 13.886718°		 ← 8 353.40 m → N 64.699105°
W 13.710937°		 →
↑
8 365 m
↓
↑
8 365 m
↓
N 64.623877°
W 13.886718°		 ← 8 376.60 m →
69 973 186 m²		 N 64.623877°
W 13.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461669921875 y=0.262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461669921875 × 211)
    floor (0.461669921875 × 2048)
    floor (945.5)     		tx = 945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262451171875 × 211)
    floor (0.262451171875 × 2048)
    floor (537.5)     		ty = 537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 945 / 537 ti = "11/945/537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/945/537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 945 ÷ 211
    945 ÷ 2048     		x = 0.46142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 537 ÷ 211
    537 ÷ 2048     		y = 0.26220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46142578125 × 2 - 1) × π
    -0.0771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24236896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    0.4755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49409728735791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24236896} λ = -0.24236896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49409728735791))-π/2
    2×atan(4.45531286975427)-π/2
    2×1.35000436991768-π/2
    2.70000873983536-1.57079632675     		φ = 1.12921241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24236896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12921241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.699105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 945 KachelY 537 -0.24236896 1.12921241 -13.886718 64.699105
    Oben rechts KachelX + 1 946 KachelY 537 -0.23930100 1.12921241 -13.710937 64.699105
    Unten links KachelX 945 KachelY + 1 538 -0.24236896 1.12789943 -13.886718 64.623877
    Unten rechts KachelX + 1 946 KachelY + 1 538 -0.23930100 1.12789943 -13.710937 64.623877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12921241-1.12789943) × R
    0.00131298000000002 × 6371000     		dl = 8364.99558000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12921241-1.12789943) × R
    0.00131298000000002 × 6371000     		dr = 8364.99558000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24236896--0.23930100) × cos(1.12921241) × R
    0.00306795999999998 × 0.427371981524642 × 6371000     		do = 8353.40128021662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24236896--0.23930100) × cos(1.12789943) × R
    0.00306795999999998 × 0.428558646350392 × 6371000     		du = 8376.59579905065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12921241)-sin(1.12789943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427371981524642-0.428558646350392)×R²
    abs(-0.23930100--0.24236896)×0.00118666482575025×R²
    0.00306795999999998×0.00118666482575025×6371000²
    0.00306795999999998×0.00118666482575025×40589641000000     		ar = 69973185.8630676m²