Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9446 / 7217
↖ ↑ ↗
← N 20.940920°
E 27.553711°		 ← 2 281.84 m → N 20.940920°
E 27.575683°		 →
↑
2 282.03 m
↓
↑
2 282.03 m
↓
N 20.920397°
E 27.553711°		 ← 2 282.15 m →
5 207 579 m²		 N 20.920397°
E 27.575683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576568603515625 y=0.440521240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576568603515625 × 214)
    floor (0.576568603515625 × 16384)
    floor (9446.5)     		tx = 9446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440521240234375 × 214)
    floor (0.440521240234375 × 16384)
    floor (7217.5)     		ty = 7217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9446 / 7217 ti = "14/9446/7217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9446/7217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9446 ÷ 214
    9446 ÷ 16384     		x = 0.5765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7217 ÷ 214
    7217 ÷ 16384     		y = 0.44049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5765380859375 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44049072265625 × 2 - 1) × π
    0.1190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48090298} λ = 0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373907817036438))-π/2
    2×atan(1.45340316527035)-π/2
    2×0.968142161714474-π/2
    1.93628432342895-1.57079632675     		φ = 0.36548800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36548800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.940920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9446 KachelY 7217 0.48090298 0.36548800 27.553711 20.940920
    Oben rechts KachelX + 1 9447 KachelY 7217 0.48128647 0.36548800 27.575683 20.940920
    Unten links KachelX 9446 KachelY + 1 7218 0.48090298 0.36512981 27.553711 20.920397
    Unten rechts KachelX + 1 9447 KachelY + 1 7218 0.48128647 0.36512981 27.575683 20.920397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36548800-0.36512981) × R
    0.00035818999999998 × 6371000     		dl = 2282.02848999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36548800-0.36512981) × R
    0.00035818999999998 × 6371000     		dr = 2282.02848999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48090298-0.48128647) × cos(0.36548800) × R
    0.000383490000000042 × 0.9339494586879 × 6371000     		do = 2281.83913057902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48090298-0.48128647) × cos(0.36512981) × R
    0.000383490000000042 × 0.934077417706597 × 6371000     		du = 2282.15176194602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36548800)-sin(0.36512981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9339494586879-0.934077417706597)×R²
    abs(0.48128647-0.48090298)×0.000127959018697554×R²
    0.000383490000000042×0.000127959018697554×6371000²
    0.000383490000000042×0.000127959018697554×40589641000000     		ar = 5207578.67809871m²