Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9445 / 7107
↖ ↑ ↗
← N 23.180764°
E 27.531738°		 ← 2 246.03 m → N 23.180764°
E 27.553711°		 →
↑
2 246.16 m
↓
↑
2 246.16 m
↓
N 23.160564°
E 27.531738°		 ← 2 246.37 m →
5 045 315 m²		 N 23.160564°
E 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576507568359375 y=0.433807373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576507568359375 × 214)
    floor (0.576507568359375 × 16384)
    floor (9445.5)     		tx = 9445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433807373046875 × 214)
    floor (0.433807373046875 × 16384)
    floor (7107.5)     		ty = 7107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9445 / 7107 ti = "14/9445/7107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9445/7107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9445 ÷ 214
    9445 ÷ 16384     		x = 0.57647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7107 ÷ 214
    7107 ÷ 16384     		y = 0.43377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57647705078125 × 2 - 1) × π
    0.1529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.48051948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43377685546875 × 2 - 1) × π
    0.1324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.416092288702087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48051948} λ = 0.48051948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416092288702087))-π/2
    2×atan(1.51602577446567)-π/2
    2×0.987688487217985-π/2
    1.97537697443597-1.57079632675     		φ = 0.40458065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48051948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40458065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.180764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9445 KachelY 7107 0.48051948 0.40458065 27.531738 23.180764
    Oben rechts KachelX + 1 9446 KachelY 7107 0.48090298 0.40458065 27.553711 23.180764
    Unten links KachelX 9445 KachelY + 1 7108 0.48051948 0.40422809 27.531738 23.160564
    Unten rechts KachelX + 1 9446 KachelY + 1 7108 0.48090298 0.40422809 27.553711 23.160564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40458065-0.40422809) × R
    0.000352560000000002 × 6371000     		dl = 2246.15976000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40458065-0.40422809) × R
    0.000352560000000002 × 6371000     		dr = 2246.15976000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48051948-0.48090298) × cos(0.40458065) × R
    0.000383499999999981 × 0.919267548113984 × 6371000     		do = 2246.0266360545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48051948-0.48090298) × cos(0.40422809) × R
    0.000383499999999981 × 0.919406270335596 × 6371000     		du = 2246.36557307604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40458065)-sin(0.40422809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919267548113984-0.919406270335596)×R²
    abs(0.48090298-0.48051948)×0.000138722221612042×R²
    0.000383499999999981×0.000138722221612042×6371000²
    0.000383499999999981×0.000138722221612042×40589641000000     		ar = 5045315.35540386m²