Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9445 / 4060
↖ ↑ ↗
← N 82.701451°
W128.117065°		 ← 77.59 m → N 82.701451°
W128.111573°		 →
↑
77.60 m
↓
↑
77.60 m
↓
N 82.700753°
W128.117065°		 ← 77.60 m →
6 021 m²		 N 82.700753°
W128.111573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144126892089844 y=0.0619583129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144126892089844 × 216)
    floor (0.144126892089844 × 65536)
    floor (9445.5)     		tx = 9445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619583129882812 × 216)
    floor (0.0619583129882812 × 65536)
    floor (4060.5)     		ty = 4060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9445 / 4060 ti = "16/9445/4060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9445/4060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9445 ÷ 216
    9445 ÷ 65536     		x = 0.144119262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4060 ÷ 216
    4060 ÷ 65536     		y = 0.06195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144119262695312 × 2 - 1) × π
    -0.711761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23606462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06195068359375 × 2 - 1) × π
    0.8760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75234502858514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23606462} λ = -2.23606462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75234502858514))-π/2
    2×atan(15.6793573474041)-π/2
    2×1.50710446784932-π/2
    3.01420893569864-1.57079632675     		φ = 1.44341261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23606462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.117065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44341261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.701451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9445 KachelY 4060 -2.23606462 1.44341261 -128.117065 82.701451
    Oben rechts KachelX + 1 9446 KachelY 4060 -2.23596875 1.44341261 -128.111573 82.701451
    Unten links KachelX 9445 KachelY + 1 4061 -2.23606462 1.44340043 -128.117065 82.700753
    Unten rechts KachelX + 1 9446 KachelY + 1 4061 -2.23596875 1.44340043 -128.111573 82.700753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44341261-1.44340043) × R
    1.21799999999173e-05 × 6371000     		dl = 77.5987799994728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44341261-1.44340043) × R
    1.21799999999173e-05 × 6371000     		dr = 77.5987799994728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23606462--2.23596875) × cos(1.44341261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127039495181309 × 6371000     		do = 77.5941699637157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23606462--2.23596875) × cos(1.44340043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127051576485376 × 6371000     		du = 77.6015490764858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44341261)-sin(1.44340043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127039495181309-0.127051576485376)×R²
    abs(-2.23596875--2.23606462)×1.20813040674628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20813040674628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20813040674628e-05×40589641000000     		ar = 6021.49922974414m²