Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9442 / 7222
↖ ↑ ↗
← N 20.838278°
E 27.465821°		 ← 2 283.40 m → N 20.838278°
E 27.487793°		 →
↑
2 283.62 m
↓
↑
2 283.62 m
↓
N 20.817741°
E 27.465821°		 ← 2 283.71 m →
5 214 776 m²		 N 20.817741°
E 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576324462890625 y=0.440826416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576324462890625 × 214)
    floor (0.576324462890625 × 16384)
    floor (9442.5)     		tx = 9442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440826416015625 × 214)
    floor (0.440826416015625 × 16384)
    floor (7222.5)     		ty = 7222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9442 / 7222 ti = "14/9442/7222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9442/7222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9442 ÷ 214
    9442 ÷ 16384     		x = 0.5762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7222 ÷ 214
    7222 ÷ 16384     		y = 0.4407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    0.152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47936900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    0.118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47936900} λ = 0.47936900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371990341051636))-π/2
    2×atan(1.45061896977177)-π/2
    2×0.967246442472974-π/2
    1.93449288494595-1.57079632675     		φ = 0.36369656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47936900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.465821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36369656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.838278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9442 KachelY 7222 0.47936900 0.36369656 27.465821 20.838278
    Oben rechts KachelX + 1 9443 KachelY 7222 0.47975249 0.36369656 27.487793 20.838278
    Unten links KachelX 9442 KachelY + 1 7223 0.47936900 0.36333812 27.465821 20.817741
    Unten rechts KachelX + 1 9443 KachelY + 1 7223 0.47975249 0.36333812 27.487793 20.817741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36369656-0.36333812) × R
    0.000358440000000015 × 6371000     		dl = 2283.6212400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36369656-0.36333812) × R
    0.000358440000000015 × 6371000     		dr = 2283.6212400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47936900-0.47975249) × cos(0.36369656) × R
    0.000383489999999986 × 0.934588229503929 × 6371000     		do = 2283.39978488383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47936900-0.47975249) × cos(0.36333812) × R
    0.000383489999999986 × 0.934715677832835 × 6371000     		du = 2283.71116852598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36369656)-sin(0.36333812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934588229503929-0.934715677832835)×R²
    abs(0.47975249-0.47936900)×0.000127448328906876×R²
    0.000383489999999986×0.000127448328906876×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127448328906876×40589641000000     		ar = 5214775.84515439m²