Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9441 / 5406
↖ ↑ ↗
← N 81.699431°
W128.139038°		 ← 88.18 m → N 81.699431°
W128.133545°		 →
↑
88.17 m
↓
↑
88.17 m
↓
N 81.698638°
W128.139038°		 ← 88.19 m →
7 775 m²		 N 81.698638°
W128.133545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144065856933594 y=0.0824966430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144065856933594 × 216)
    floor (0.144065856933594 × 65536)
    floor (9441.5)     		tx = 9441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0824966430664062 × 216)
    floor (0.0824966430664062 × 65536)
    floor (5406.5)     		ty = 5406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9441 / 5406 ti = "16/9441/5406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9441/5406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9441 ÷ 216
    9441 ÷ 65536     		x = 0.144058227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5406 ÷ 216
    5406 ÷ 65536     		y = 0.082489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144058227539062 × 2 - 1) × π
    -0.711883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23644811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082489013671875 × 2 - 1) × π
    0.83502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62329889480795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23644811} λ = -2.23644811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62329889480795))-π/2
    2×atan(13.7811111154788)-π/2
    2×1.49836019434019-π/2
    2.99672038868039-1.57079632675     		φ = 1.42592406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23644811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.139038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42592406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.699431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9441 KachelY 5406 -2.23644811 1.42592406 -128.139038 81.699431
    Oben rechts KachelX + 1 9442 KachelY 5406 -2.23635224 1.42592406 -128.133545 81.699431
    Unten links KachelX 9441 KachelY + 1 5407 -2.23644811 1.42591022 -128.139038 81.698638
    Unten rechts KachelX + 1 9442 KachelY + 1 5407 -2.23635224 1.42591022 -128.133545 81.698638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42592406-1.42591022) × R
    1.38400000000427e-05 × 6371000     		dl = 88.1746400002721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42592406-1.42591022) × R
    1.38400000000427e-05 × 6371000     		dr = 88.1746400002721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23644811--2.23635224) × cos(1.42592406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144366035771292 × 6371000     		do = 88.1770090524854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23644811--2.23635224) × cos(1.42591022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144379730774528 × 6371000     		du = 88.1853737929724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42592406)-sin(1.42591022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144366035771292-0.144379730774528)×R²
    abs(-2.23635224--2.23644811)×1.36950032365302e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36950032365302e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36950032365302e-05×40589641000000     		ar = 7775.34480871708m²