Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9441 / 4132
↖ ↑ ↗
← N 82.651033°
W128.139038°		 ← 78.13 m → N 82.651033°
W128.133545°		 →
↑
78.17 m
↓
↑
78.17 m
↓
N 82.650330°
W128.139038°		 ← 78.13 m →
6 108 m²		 N 82.650330°
W128.133545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144065856933594 y=0.0630569458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144065856933594 × 216)
    floor (0.144065856933594 × 65536)
    floor (9441.5)     		tx = 9441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0630569458007812 × 216)
    floor (0.0630569458007812 × 65536)
    floor (4132.5)     		ty = 4132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9441 / 4132 ti = "16/9441/4132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9441/4132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9441 ÷ 216
    9441 ÷ 65536     		x = 0.144058227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4132 ÷ 216
    4132 ÷ 65536     		y = 0.06304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144058227539062 × 2 - 1) × π
    -0.711883544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23644811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06304931640625 × 2 - 1) × π
    0.8739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74544211503986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23644811} λ = -2.23644811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74544211503986))-π/2
    2×atan(15.5714968034919)-π/2
    2×1.50666449204129-π/2
    3.01332898408257-1.57079632675     		φ = 1.44253266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23644811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.139038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44253266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.651033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9441 KachelY 4132 -2.23644811 1.44253266 -128.139038 82.651033
    Oben rechts KachelX + 1 9442 KachelY 4132 -2.23635224 1.44253266 -128.133545 82.651033
    Unten links KachelX 9441 KachelY + 1 4133 -2.23644811 1.44252039 -128.139038 82.650330
    Unten rechts KachelX + 1 9442 KachelY + 1 4133 -2.23635224 1.44252039 -128.133545 82.650330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44253266-1.44252039) × R
    1.22699999998144e-05 × 6371000     		dl = 78.1721699988174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44253266-1.44252039) × R
    1.22699999998144e-05 × 6371000     		dr = 78.1721699988174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23644811--2.23635224) × cos(1.44253266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127912266229933 × 6371000     		do = 78.1272478462253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23644811--2.23635224) × cos(1.44252039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127924435428229 × 6371000     		du = 78.134680643715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44253266)-sin(1.44252039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127912266229933-0.127924435428229)×R²
    abs(-2.23635224--2.23644811)×1.21691982957473e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.21691982957473e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.21691982957473e-05×40589641000000     		ar = 6107.66701960465m²