Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9440 / 7228
↖ ↑ ↗
← N 20.715015°
E 27.421875°		 ← 2 285.26 m → N 20.715015°
E 27.443848°		 →
↑
2 285.47 m
↓
↑
2 285.47 m
↓
N 20.694461°
E 27.421875°		 ← 2 285.57 m →
5 223 254 m²		 N 20.694461°
E 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576202392578125 y=0.441192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576202392578125 × 214)
    floor (0.576202392578125 × 16384)
    floor (9440.5)     		tx = 9440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441192626953125 × 214)
    floor (0.441192626953125 × 16384)
    floor (7228.5)     		ty = 7228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9440 / 7228 ti = "14/9440/7228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9440/7228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9440 ÷ 214
    9440 ÷ 16384     		x = 0.576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7228 ÷ 214
    7228 ÷ 16384     		y = 0.441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576171875 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47860201} λ = 0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369689369869873))-π/2
    2×atan(1.44728497451109)-π/2
    2×0.966170772837346-π/2
    1.93234154567469-1.57079632675     		φ = 0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9440 KachelY 7228 0.47860201 0.36154522 27.421875 20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 9441 KachelY 7228 0.47898550 0.36154522 27.443848 20.715015
    Unten links KachelX 9440 KachelY + 1 7229 0.47860201 0.36118649 27.421875 20.694461
    Unten rechts KachelX + 1 9441 KachelY + 1 7229 0.47898550 0.36118649 27.443848 20.694461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36154522-0.36118649) × R
    0.000358729999999974 × 6371000     		dl = 2285.46882999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36154522-0.36118649) × R
    0.000358729999999974 × 6371000     		dr = 2285.46882999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47860201-0.47898550) × cos(0.36154522) × R
    0.000383489999999986 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 2285.26428974632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47860201-0.47898550) × cos(0.36118649) × R
    0.000383489999999986 × 0.935478195162677 × 6371000     		du = 2285.57416214388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36154522)-sin(0.36118649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.935478195162677)×R²
    abs(0.47898550-0.47860201)×0.000126829781331494×R²
    0.000383489999999986×0.000126829781331494×6371000²
    0.000383489999999986×0.000126829781331494×40589641000000     		ar = 5223254.46039295m²