Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9440 / 5407
↖ ↑ ↗
← N 76.103435°
W 76.289062°		 ← 293.39 m → N 76.103435°
W 76.278076°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
N 76.100796°
W 76.289062°		 ← 293.44 m →
86 102 m²		 N 76.100796°
W 76.278076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.288101196289062 y=0.165023803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.288101196289062 × 215)
    floor (0.288101196289062 × 32768)
    floor (9440.5)     		tx = 9440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165023803710938 × 215)
    floor (0.165023803710938 × 32768)
    floor (5407.5)     		ty = 5407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9440 / 5407 ti = "15/9440/5407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9440/5407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9440 ÷ 215
    9440 ÷ 32768     		x = 0.2880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5407 ÷ 215
    5407 ÷ 32768     		y = 0.165008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2880859375 × 2 - 1) × π
    -0.423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33149532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165008544921875 × 2 - 1) × π
    0.66998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10481338851743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33149532} λ = -1.33149532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10481338851743))-π/2
    2×atan(8.2055716128281)-π/2
    2×1.44952591891276-π/2
    2.89905183782553-1.57079632675     		φ = 1.32825551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33149532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32825551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.103435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9440 KachelY 5407 -1.33149532 1.32825551 -76.289062 76.103435
    Oben rechts KachelX + 1 9441 KachelY 5407 -1.33130358 1.32825551 -76.278076 76.103435
    Unten links KachelX 9440 KachelY + 1 5408 -1.33149532 1.32820945 -76.289062 76.100796
    Unten rechts KachelX + 1 9441 KachelY + 1 5408 -1.33130358 1.32820945 -76.278076 76.100796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32825551-1.32820945) × R
    4.60600000000699e-05 × 6371000     		dl = 293.448260000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32825551-1.32820945) × R
    4.60600000000699e-05 × 6371000     		dr = 293.448260000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33149532--1.33130358) × cos(1.32825551) × R
    0.000191739999999996 × 0.240169848337753 × 6371000     		do = 293.385612174903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33149532--1.33130358) × cos(1.32820945) × R
    0.000191739999999996 × 0.240214559947368 × 6371000     		du = 293.440230783562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32825551)-sin(1.32820945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240169848337753-0.240214559947368)×R²
    abs(-1.33130358--1.33149532)×4.47116096148614e-05×R²
    0.000191739999999996×4.47116096148614e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.47116096148614e-05×40589641000000     		ar = 86101.5112848803m²