Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 944 / 655
↖ ↑ ↗
← N 76.537296°
W 97.031250°		 ← 2 275.27 m → N 76.537296°
W 96.943359°		 →
↑
2 277 m
↓
↑
2 277 m
↓
N 76.516819°
W 97.031250°		 ← 2 278.67 m →
5 184 651 m²		 N 76.516819°
W 96.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2305908203125 y=0.1600341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2305908203125 × 212)
    floor (0.2305908203125 × 4096)
    floor (944.5)     		tx = 944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1600341796875 × 212)
    floor (0.1600341796875 × 4096)
    floor (655.5)     		ty = 655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 944 / 655 ti = "12/944/655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/944/655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 944 ÷ 212
    944 ÷ 4096     		x = 0.23046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 655 ÷ 212
    655 ÷ 4096     		y = 0.159912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23046875 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159912109375 × 2 - 1) × π
    0.68017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13683523746362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69351479} λ = -1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13683523746362))-π/2
    2×atan(8.47258144623365)-π/2
    2×1.45331207276932-π/2
    2.90662414553863-1.57079632675     		φ = 1.33582782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33582782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.537296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 944 KachelY 655 -1.69351479 1.33582782 -97.031250 76.537296
    Oben rechts KachelX + 1 945 KachelY 655 -1.69198081 1.33582782 -96.943359 76.537296
    Unten links KachelX 944 KachelY + 1 656 -1.69351479 1.33547042 -97.031250 76.516819
    Unten rechts KachelX + 1 945 KachelY + 1 656 -1.69198081 1.33547042 -96.943359 76.516819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33582782-1.33547042) × R
    0.000357399999999952 × 6371000     		dl = 2276.9953999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33582782-1.33547042) × R
    0.000357399999999952 × 6371000     		dr = 2276.9953999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69351479--1.69198081) × cos(1.33582782) × R
    0.00153398000000005 × 0.232812357803335 × 6371000     		do = 2275.27204847022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69351479--1.69198081) × cos(1.33547042) × R
    0.00153398000000005 × 0.233159922173044 × 6371000     		du = 2278.66879039107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33582782)-sin(1.33547042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232812357803335-0.233159922173044)×R²
    abs(-1.69198081--1.69351479)×0.000347564369709202×R²
    0.00153398000000005×0.000347564369709202×6371000²
    0.00153398000000005×0.000347564369709202×40589641000000     		ar = 5184651.22616228m²