Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 944 / 623
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 14.062500°		 ← 10.525 km → N 57.421295°
W 13.886718°		 →
↑
10.538 km
↓
↑
10.538 km
↓
N 57.326521°
W 14.062500°		 ← 10.552 km →
111.056 km²		 N 57.326521°
W 13.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461181640625 y=0.304443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461181640625 × 211)
    floor (0.461181640625 × 2048)
    floor (944.5)     		tx = 944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304443359375 × 211)
    floor (0.304443359375 × 2048)
    floor (623.5)     		ty = 623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 944 / 623 ti = "11/944/623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/944/623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 944 ÷ 211
    944 ÷ 2048     		x = 0.4609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 623 ÷ 211
    623 ÷ 2048     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4609375 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24543693} λ = -0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 944 KachelY 623 -0.24543693 1.00219065 -14.062500 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 945 KachelY 623 -0.24236896 1.00219065 -13.886718 57.421295
    Unten links KachelX 944 KachelY + 1 624 -0.24543693 1.00053654 -14.062500 57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 945 KachelY + 1 624 -0.24236896 1.00053654 -13.886718 57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00053654) × R
    0.00165411000000004 × 6371000     		dl = 10538.3348100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00053654) × R
    0.00165411000000004 × 6371000     		dr = 10538.3348100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24543693--0.24236896) × cos(1.00219065) × R
    0.00306797 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 10524.7129330229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24543693--0.24236896) × cos(1.00053654) × R
    0.00306797 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 10551.942571497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.539850745277805)×R²
    abs(-0.24236896--0.24543693)×0.00139310278882432×R²
    0.00306797×0.00139310278882432×6371000²
    0.00306797×0.00139310278882432×40589641000000     		ar = 111056451.51245m²