Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9439 / 7235
↖ ↑ ↗
← N 20.571082°
E 27.399902°		 ← 2 287.49 m → N 20.571082°
E 27.421875°		 →
↑
2 287.63 m
↓
↑
2 287.63 m
↓
N 20.550509°
E 27.399902°		 ← 2 287.80 m →
5 233 289 m²		 N 20.550509°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576141357421875 y=0.441619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576141357421875 × 214)
    floor (0.576141357421875 × 16384)
    floor (9439.5)     		tx = 9439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441619873046875 × 214)
    floor (0.441619873046875 × 16384)
    floor (7235.5)     		ty = 7235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9439 / 7235 ti = "14/9439/7235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9439/7235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9439 ÷ 214
    9439 ÷ 16384     		x = 0.57611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7235 ÷ 214
    7235 ÷ 16384     		y = 0.44158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    0.1522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47821851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44158935546875 × 2 - 1) × π
    0.1168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.36700490349115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47821851} λ = 0.47821851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36700490349115))-π/2
    2×atan(1.44340499682145)-π/2
    2×0.964914718262092-π/2
    1.92982943652418-1.57079632675     		φ = 0.35903311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47821851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35903311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.571082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9439 KachelY 7235 0.47821851 0.35903311 27.399902 20.571082
    Oben rechts KachelX + 1 9440 KachelY 7235 0.47860201 0.35903311 27.421875 20.571082
    Unten links KachelX 9439 KachelY + 1 7236 0.47821851 0.35867404 27.399902 20.550509
    Unten rechts KachelX + 1 9440 KachelY + 1 7236 0.47860201 0.35867404 27.421875 20.550509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35903311-0.35867404) × R
    0.000359069999999961 × 6371000     		dl = 2287.63496999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35903311-0.35867404) × R
    0.000359069999999961 × 6371000     		dr = 2287.63496999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47821851-0.47860201) × cos(0.35903311) × R
    0.000383500000000037 × 0.936236996584442 × 6371000     		do = 2287.48772465956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47821851-0.47860201) × cos(0.35867404) × R
    0.000383500000000037 × 0.936363102350712 × 6371000     		du = 2287.79583616701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35903311)-sin(0.35867404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936236996584442-0.936363102350712)×R²
    abs(0.47860201-0.47821851)×0.000126105766270257×R²
    0.000383500000000037×0.000126105766270257×6371000²
    0.000383500000000037×0.000126105766270257×40589641000000     		ar = 5233289.391934m²