Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9439 / 6815
↖ ↑ ↗
← N 28.940862°
E 27.399902°		 ← 2 138.16 m → N 28.940862°
E 27.421875°		 →
↑
2 138.36 m
↓
↑
2 138.36 m
↓
N 28.921631°
E 27.399902°		 ← 2 138.56 m →
4 572 587 m²		 N 28.921631°
E 27.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576141357421875 y=0.415985107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576141357421875 × 214)
    floor (0.576141357421875 × 16384)
    floor (9439.5)     		tx = 9439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415985107421875 × 214)
    floor (0.415985107421875 × 16384)
    floor (6815.5)     		ty = 6815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9439 / 6815 ti = "14/9439/6815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9439/6815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9439 ÷ 214
    9439 ÷ 16384     		x = 0.57611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6815 ÷ 214
    6815 ÷ 16384     		y = 0.41595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    0.1522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47821851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41595458984375 × 2 - 1) × π
    0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47821851} λ = 0.47821851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528072886214539))-π/2
    2×atan(1.69566142544035)-π/2
    2×1.03795482651118-π/2
    2.07590965302237-1.57079632675     		φ = 0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47821851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9439 KachelY 6815 0.47821851 0.50511333 27.399902 28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 9440 KachelY 6815 0.47860201 0.50511333 27.421875 28.940862
    Unten links KachelX 9439 KachelY + 1 6816 0.47821851 0.50477769 27.399902 28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 9440 KachelY + 1 6816 0.47860201 0.50477769 27.421875 28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50511333-0.50477769) × R
    0.000335640000000081 × 6371000     		dl = 2138.36244000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50511333-0.50477769) × R
    0.000335640000000081 × 6371000     		dr = 2138.36244000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47821851-0.47860201) × cos(0.50511333) × R
    0.000383500000000037 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 2138.16099867402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47821851-0.47860201) × cos(0.50477769) × R
    0.000383500000000037 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 2138.5577116593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50511333)-sin(0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.875282008031053)×R²
    abs(0.47860201-0.47821851)×0.000162369122180483×R²
    0.000383500000000037×0.000162369122180483×6371000²
    0.000383500000000037×0.000162369122180483×40589641000000     		ar = 4572587.371239m²