Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9439 / 3999
↖ ↑ ↗
← N 82.743896°
W128.150024°		 ← 77.15 m → N 82.743896°
W128.144531°		 →
↑
77.15 m
↓
↑
77.15 m
↓
N 82.743202°
W128.150024°		 ← 77.15 m →
5 952 m²		 N 82.743202°
W128.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144035339355469 y=0.0610275268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144035339355469 × 216)
    floor (0.144035339355469 × 65536)
    floor (9439.5)     		tx = 9439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0610275268554688 × 216)
    floor (0.0610275268554688 × 65536)
    floor (3999.5)     		ty = 3999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9439 / 3999 ti = "16/9439/3999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9439/3999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9439 ÷ 216
    9439 ÷ 65536     		x = 0.144027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3999 ÷ 216
    3999 ÷ 65536     		y = 0.0610198974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144027709960938 × 2 - 1) × π
    -0.711944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23663986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0610198974609375 × 2 - 1) × π
    0.877960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.75819333033879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23663986} λ = -2.23663986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75819333033879))-π/2
    2×atan(15.7713236216124)-π/2
    2×1.50747487508023-π/2
    3.01494975016045-1.57079632675     		φ = 1.44415342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23663986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.150024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44415342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.743896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9439 KachelY 3999 -2.23663986 1.44415342 -128.150024 82.743896
    Oben rechts KachelX + 1 9440 KachelY 3999 -2.23654399 1.44415342 -128.144531 82.743896
    Unten links KachelX 9439 KachelY + 1 4000 -2.23663986 1.44414131 -128.150024 82.743202
    Unten rechts KachelX + 1 9440 KachelY + 1 4000 -2.23654399 1.44414131 -128.144531 82.743202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44415342-1.44414131) × R
    1.21099999998986e-05 × 6371000     		dl = 77.1528099993539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44415342-1.44414131) × R
    1.21099999998986e-05 × 6371000     		dr = 77.1528099993539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23663986--2.23654399) × cos(1.44415342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12630465268388 × 6371000     		do = 77.1453371534099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23663986--2.23654399) × cos(1.44414131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126316665691675 × 6371000     		du = 77.1526745516519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44415342)-sin(1.44414131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12630465268388-0.126316665691675)×R²
    abs(-2.23654399--2.23663986)×1.2013007794881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2013007794881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2013007794881e-05×40589641000000     		ar = 5952.26259026933m²