Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9438 / 7238
↖ ↑ ↗
← N 20.509355°
E 27.377930°		 ← 2 288.35 m → N 20.509355°
E 27.399902°		 →
↑
2 288.59 m
↓
↑
2 288.59 m
↓
N 20.488773°
E 27.377930°		 ← 2 288.66 m →
5 237 452 m²		 N 20.488773°
E 27.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576080322265625 y=0.441802978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576080322265625 × 214)
    floor (0.576080322265625 × 16384)
    floor (9438.5)     		tx = 9438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441802978515625 × 214)
    floor (0.441802978515625 × 16384)
    floor (7238.5)     		ty = 7238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9438 / 7238 ti = "14/9438/7238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9438/7238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9438 ÷ 214
    9438 ÷ 16384     		x = 0.5760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7238 ÷ 214
    7238 ÷ 16384     		y = 0.4417724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5760498046875 × 2 - 1) × π
    0.152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47783502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4417724609375 × 2 - 1) × π
    0.116455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365854417900269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47783502} λ = 0.47783502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365854417900269))-π/2
    2×atan(1.44174533506234)-π/2
    2×0.96437604590859-π/2
    1.92875209181718-1.57079632675     		φ = 0.35795577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47783502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35795577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.509355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9438 KachelY 7238 0.47783502 0.35795577 27.377930 20.509355
    Oben rechts KachelX + 1 9439 KachelY 7238 0.47821851 0.35795577 27.399902 20.509355
    Unten links KachelX 9438 KachelY + 1 7239 0.47783502 0.35759655 27.377930 20.488773
    Unten rechts KachelX + 1 9439 KachelY + 1 7239 0.47821851 0.35759655 27.399902 20.488773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35795577-0.35759655) × R
    0.000359219999999993 × 6371000     		dl = 2288.59061999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35795577-0.35759655) × R
    0.000359219999999993 × 6371000     		dr = 2288.59061999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47783502-0.47821851) × cos(0.35795577) × R
    0.000383489999999986 × 0.936614997234424 × 6371000     		do = 2288.35161377887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47783502-0.47821851) × cos(0.35759655) × R
    0.000383489999999986 × 0.936740793232409 × 6371000     		du = 2288.65896042167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35795577)-sin(0.35759655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936614997234424-0.936740793232409)×R²
    abs(0.47821851-0.47783502)×0.000125795997984679×R²
    0.000383489999999986×0.000125795997984679×6371000²
    0.000383489999999986×0.000125795997984679×40589641000000     		ar = 5237451.7901978m²