Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9437 / 7229
↖ ↑ ↗
← N 20.694461°
E 27.355957°		 ← 2 285.63 m → N 20.694461°
E 27.377930°		 →
↑
2 285.72 m
↓
↑
2 285.72 m
↓
N 20.673905°
E 27.355957°		 ← 2 285.94 m →
5 224 681 m²		 N 20.673905°
E 27.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576019287109375 y=0.441253662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576019287109375 × 214)
    floor (0.576019287109375 × 16384)
    floor (9437.5)     		tx = 9437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441253662109375 × 214)
    floor (0.441253662109375 × 16384)
    floor (7229.5)     		ty = 7229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9437 / 7229 ti = "14/9437/7229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9437/7229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9437 ÷ 214
    9437 ÷ 16384     		x = 0.57598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7229 ÷ 214
    7229 ÷ 16384     		y = 0.44122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57598876953125 × 2 - 1) × π
    0.1519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47745152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44122314453125 × 2 - 1) × π
    0.1175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.369305874672913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47745152} λ = 0.47745152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369305874672913))-π/2
    2×atan(1.44673005408619)-π/2
    2×0.96599140929802-π/2
    1.93198281859604-1.57079632675     		φ = 0.36118649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47745152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.355957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36118649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.694461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9437 KachelY 7229 0.47745152 0.36118649 27.355957 20.694461
    Oben rechts KachelX + 1 9438 KachelY 7229 0.47783502 0.36118649 27.377930 20.694461
    Unten links KachelX 9437 KachelY + 1 7230 0.47745152 0.36082772 27.355957 20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 9438 KachelY + 1 7230 0.47783502 0.36082772 27.377930 20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36118649-0.36082772) × R
    0.000358770000000008 × 6371000     		dl = 2285.72367000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36118649-0.36082772) × R
    0.000358770000000008 × 6371000     		dr = 2285.72367000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47745152-0.47783502) × cos(0.36118649) × R
    0.000383499999999981 × 0.935478195162677 × 6371000     		do = 2285.63376145966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47745152-0.47783502) × cos(0.36082772) × R
    0.000383499999999981 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 2285.94338230957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36118649)-sin(0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935478195162677-0.935604918681879)×R²
    abs(0.47783502-0.47745152)×0.000126723519202843×R²
    0.000383499999999981×0.000126723519202843×6371000²
    0.000383499999999981×0.000126723519202843×40589641000000     		ar = 5224681.09941439m²