Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9437 / 5340
↖ ↑ ↗
← N 76.279122°
W 76.322022°		 ← 289.76 m → N 76.279122°
W 76.311035°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 76.276516°
W 76.322022°		 ← 289.82 m →
83 986 m²		 N 76.276516°
W 76.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.288009643554688 y=0.162979125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.288009643554688 × 215)
    floor (0.288009643554688 × 32768)
    floor (9437.5)     		tx = 9437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162979125976562 × 215)
    floor (0.162979125976562 × 32768)
    floor (5340.5)     		ty = 5340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9437 / 5340 ti = "15/9437/5340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9437/5340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9437 ÷ 215
    9437 ÷ 32768     		x = 0.287994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5340 ÷ 215
    5340 ÷ 32768     		y = 0.1629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.42401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33207057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1629638671875 × 2 - 1) × π
    0.674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1176604776156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33207057} λ = -1.33207057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1176604776156))-π/2
    2×atan(8.31166938695613)-π/2
    2×1.4510590782649-π/2
    2.90211815652979-1.57079632675     		φ = 1.33132183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33207057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.322022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33132183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.279122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9437 KachelY 5340 -1.33207057 1.33132183 -76.322022 76.279122
    Oben rechts KachelX + 1 9438 KachelY 5340 -1.33187882 1.33132183 -76.311035 76.279122
    Unten links KachelX 9437 KachelY + 1 5341 -1.33207057 1.33127634 -76.322022 76.276516
    Unten rechts KachelX + 1 9438 KachelY + 1 5341 -1.33187882 1.33127634 -76.311035 76.276516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33132183-1.33127634) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33132183-1.33127634) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33207057--1.33187882) × cos(1.33132183) × R
    0.000191749999999935 × 0.237192152410385 × 6371000     		do = 289.76324317641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33207057--1.33187882) × cos(1.33127634) × R
    0.000191749999999935 × 0.237236344005644 × 6371000     		du = 289.817229363698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33132183)-sin(1.33127634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237192152410385-0.237236344005644)×R²
    abs(-1.33187882--1.33207057)×4.41915952585636e-05×R²
    0.000191749999999935×4.41915952585636e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.41915952585636e-05×40589641000000     		ar = 83986.0760637037m²