Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9435 / 7219
↖ ↑ ↗
← N 20.899871°
E 27.312012°		 ← 2 282.52 m → N 20.899871°
E 27.333985°		 →
↑
2 282.67 m
↓
↑
2 282.67 m
↓
N 20.879343°
E 27.312012°		 ← 2 282.84 m →
5 210 595 m²		 N 20.879343°
E 27.333985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575897216796875 y=0.440643310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575897216796875 × 214)
    floor (0.575897216796875 × 16384)
    floor (9435.5)     		tx = 9435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440643310546875 × 214)
    floor (0.440643310546875 × 16384)
    floor (7219.5)     		ty = 7219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9435 / 7219 ti = "14/9435/7219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9435/7219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9435 ÷ 214
    9435 ÷ 16384     		x = 0.57586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7219 ÷ 214
    7219 ÷ 16384     		y = 0.44061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47668453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    0.1187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.373140826642517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47668453} λ = 0.47668453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373140826642517))-π/2
    2×atan(1.45228884639465)-π/2
    2×0.96778394751732-π/2
    1.93556789503464-1.57079632675     		φ = 0.36477157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47668453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36477157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.899871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9435 KachelY 7219 0.47668453 0.36477157 27.312012 20.899871
    Oben rechts KachelX + 1 9436 KachelY 7219 0.47706803 0.36477157 27.333985 20.899871
    Unten links KachelX 9435 KachelY + 1 7220 0.47668453 0.36441328 27.312012 20.879343
    Unten rechts KachelX + 1 9436 KachelY + 1 7220 0.47706803 0.36441328 27.333985 20.879343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36477157-0.36441328) × R
    0.000358289999999983 × 6371000     		dl = 2282.66558999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36477157-0.36441328) × R
    0.000358289999999983 × 6371000     		dr = 2282.66558999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47668453-0.47706803) × cos(0.36477157) × R
    0.000383499999999981 × 0.934205274719889 × 6371000     		do = 2282.52366230959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47668453-0.47706803) × cos(0.36441328) × R
    0.000383499999999981 × 0.934333029661168 × 6371000     		du = 2282.83580321088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36477157)-sin(0.36441328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934205274719889-0.934333029661168)×R²
    abs(0.47706803-0.47668453)×0.00012775494127959×R²
    0.000383499999999981×0.00012775494127959×6371000²
    0.000383499999999981×0.00012775494127959×40589641000000     		ar = 5210594.53470261m²