Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9432 / 7239
↖ ↑ ↗
← N 20.488773°
E 27.246094°		 ← 2 288.72 m → N 20.488773°
E 27.268066°		 →
↑
2 288.85 m
↓
↑
2 288.85 m
↓
N 20.468189°
E 27.246094°		 ← 2 289.03 m →
5 238 875 m²		 N 20.468189°
E 27.268066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575714111328125 y=0.441864013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575714111328125 × 214)
    floor (0.575714111328125 × 16384)
    floor (9432.5)     		tx = 9432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441864013671875 × 214)
    floor (0.441864013671875 × 16384)
    floor (7239.5)     		ty = 7239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9432 / 7239 ti = "14/9432/7239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9432/7239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9432 ÷ 214
    9432 ÷ 16384     		x = 0.57568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7239 ÷ 214
    7239 ÷ 16384     		y = 0.44183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57568359375 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365470922703308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47553404} λ = 0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365470922703308))-π/2
    2×atan(1.44119253865526)-π/2
    2×0.96419644016992-π/2
    1.92839288033984-1.57079632675     		φ = 0.35759655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35759655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.488773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9432 KachelY 7239 0.47553404 0.35759655 27.246094 20.488773
    Oben rechts KachelX + 1 9433 KachelY 7239 0.47591754 0.35759655 27.268066 20.488773
    Unten links KachelX 9432 KachelY + 1 7240 0.47553404 0.35723729 27.246094 20.468189
    Unten rechts KachelX + 1 9433 KachelY + 1 7240 0.47591754 0.35723729 27.268066 20.468189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35759655-0.35723729) × R
    0.000359260000000028 × 6371000     		dl = 2288.84546000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35759655-0.35723729) × R
    0.000359260000000028 × 6371000     		dr = 2288.84546000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47553404-0.47591754) × cos(0.35759655) × R
    0.000383499999999981 × 0.936740793232409 × 6371000     		do = 2288.71864017758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47553404-0.47591754) × cos(0.35723729) × R
    0.000383499999999981 × 0.936866482341783 × 6371000     		du = 2289.0257336762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35759655)-sin(0.35723729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936740793232409-0.936866482341783)×R²
    abs(0.47591754-0.47553404)×0.000125689109374827×R²
    0.000383499999999981×0.000125689109374827×6371000²
    0.000383499999999981×0.000125689109374827×40589641000000     		ar = 5238874.76991552m²