Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9432 / 4105
↖ ↑ ↗
← N 82.669980°
W128.188477°		 ← 77.93 m → N 82.669980°
W128.182984°		 →
↑
77.98 m
↓
↑
77.98 m
↓
N 82.669279°
W128.188477°		 ← 77.93 m →
6 077 m²		 N 82.669279°
W128.182984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143928527832031 y=0.0626449584960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143928527832031 × 216)
    floor (0.143928527832031 × 65536)
    floor (9432.5)     		tx = 9432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0626449584960938 × 216)
    floor (0.0626449584960938 × 65536)
    floor (4105.5)     		ty = 4105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9432 / 4105 ti = "16/9432/4105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9432/4105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9432 ÷ 216
    9432 ÷ 65536     		x = 0.1439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4105 ÷ 216
    4105 ÷ 65536     		y = 0.0626373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.712158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23731098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0626373291015625 × 2 - 1) × π
    0.874725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74803070761934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23731098} λ = -2.23731098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74803070761934))-π/2
    2×atan(15.6118572804471)-π/2
    2×1.50682983607629-π/2
    3.01365967215259-1.57079632675     		φ = 1.44286335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23731098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44286335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.669980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9432 KachelY 4105 -2.23731098 1.44286335 -128.188477 82.669980
    Oben rechts KachelX + 1 9433 KachelY 4105 -2.23721511 1.44286335 -128.182984 82.669980
    Unten links KachelX 9432 KachelY + 1 4106 -2.23731098 1.44285111 -128.188477 82.669279
    Unten rechts KachelX + 1 9433 KachelY + 1 4106 -2.23721511 1.44285111 -128.182984 82.669279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44286335-1.44285111) × R
    1.22399999999967e-05 × 6371000     		dl = 77.981039999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44286335-1.44285111) × R
    1.22399999999967e-05 × 6371000     		dr = 77.981039999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23731098--2.23721511) × cos(1.44286335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127584285699248 × 6371000     		do = 77.9269213492849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23731098--2.23721511) × cos(1.44285111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127596425661131 × 6371000     		du = 77.9343362895311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44286335)-sin(1.44285111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127584285699248-0.127596425661131)×R²
    abs(-2.23721511--2.23731098)×1.2139961882679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.2139961882679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.2139961882679e-05×40589641000000     		ar = 6077.11148288052m²