Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9431 / 7380
↖ ↑ ↗
← N 69.824471°
W 76.387939°		 ← 421.34 m → N 69.824471°
W 76.376953°		 →
↑
421.38 m
↓
↑
421.38 m
↓
N 69.820681°
W 76.387939°		 ← 421.42 m →
177 559 m²		 N 69.820681°
W 76.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287826538085938 y=0.225234985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287826538085938 × 215)
    floor (0.287826538085938 × 32768)
    floor (9431.5)     		tx = 9431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225234985351562 × 215)
    floor (0.225234985351562 × 32768)
    floor (7380.5)     		ty = 7380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9431 / 7380 ti = "15/9431/7380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9431/7380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9431 ÷ 215
    9431 ÷ 32768     		x = 0.287811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7380 ÷ 215
    7380 ÷ 32768     		y = 0.2252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.42437744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.33322105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2252197265625 × 2 - 1) × π
    0.549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72649537671594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33322105} λ = -1.33322105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72649537671594))-π/2
    2×atan(5.62092014131153)-π/2
    2×1.39473162012282-π/2
    2.78946324024564-1.57079632675     		φ = 1.21866691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33322105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.387939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21866691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.824471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9431 KachelY 7380 -1.33322105 1.21866691 -76.387939 69.824471
    Oben rechts KachelX + 1 9432 KachelY 7380 -1.33302930 1.21866691 -76.376953 69.824471
    Unten links KachelX 9431 KachelY + 1 7381 -1.33322105 1.21860077 -76.387939 69.820681
    Unten rechts KachelX + 1 9432 KachelY + 1 7381 -1.33302930 1.21860077 -76.376953 69.820681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21866691-1.21860077) × R
    6.61399999999368e-05 × 6371000     		dl = 421.377939999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21866691-1.21860077) × R
    6.61399999999368e-05 × 6371000     		dr = 421.377939999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33322105--1.33302930) × cos(1.21866691) × R
    0.000191749999999935 × 0.344897344554807 × 6371000     		do = 421.340133328783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33322105--1.33302930) × cos(1.21860077) × R
    0.000191749999999935 × 0.344959425477188 × 6371000     		du = 421.41597382024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21866691)-sin(1.21860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344897344554807-0.344959425477188)×R²
    abs(-1.33302930--1.33322105)×6.20809223811913e-05×R²
    0.000191749999999935×6.20809223811913e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.20809223811913e-05×40589641000000     		ar = 177559.416241261m²