Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9430 / 7458
↖ ↑ ↗
← N 15.919074°
E 27.202148°		 ← 2 349.58 m → N 15.919074°
E 27.224121°		 →
↑
2 349.69 m
↓
↑
2 349.69 m
↓
N 15.897942°
E 27.202148°		 ← 2 349.83 m →
5 521 069 m²		 N 15.897942°
E 27.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575592041015625 y=0.455230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575592041015625 × 214)
    floor (0.575592041015625 × 16384)
    floor (9430.5)     		tx = 9430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455230712890625 × 214)
    floor (0.455230712890625 × 16384)
    floor (7458.5)     		ty = 7458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9430 / 7458 ti = "14/9430/7458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9430/7458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9430 ÷ 214
    9430 ÷ 16384     		x = 0.5755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7458 ÷ 214
    7458 ÷ 16384     		y = 0.4552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5755615234375 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47476705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4552001953125 × 2 - 1) × π
    0.089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.28148547456897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47476705} λ = 0.47476705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.28148547456897))-π/2
    2×atan(1.3250967485803)-π/2
    2×0.924318286771495-π/2
    1.84863657354299-1.57079632675     		φ = 0.27784025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47476705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.202148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27784025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.919074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9430 KachelY 7458 0.47476705 0.27784025 27.202148 15.919074
    Oben rechts KachelX + 1 9431 KachelY 7458 0.47515055 0.27784025 27.224121 15.919074
    Unten links KachelX 9430 KachelY + 1 7459 0.47476705 0.27747144 27.202148 15.897942
    Unten rechts KachelX + 1 9431 KachelY + 1 7459 0.47515055 0.27747144 27.224121 15.897942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27784025-0.27747144) × R
    0.000368809999999997 × 6371000     		dl = 2349.68850999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27784025-0.27747144) × R
    0.000368809999999997 × 6371000     		dr = 2349.68850999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47476705-0.47515055) × cos(0.27784025) × R
    0.000383499999999981 × 0.961650055528432 × 6371000     		do = 2349.57890519631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47476705-0.47515055) × cos(0.27747144) × R
    0.000383499999999981 × 0.961751147096961 × 6371000     		du = 2349.82590005223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27784025)-sin(0.27747144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961650055528432-0.961751147096961)×R²
    abs(0.47515055-0.47476705)×0.000101091568528999×R²
    0.000383499999999981×0.000101091568528999×6371000²
    0.000383499999999981×0.000101091568528999×40589641000000     		ar = 5521068.79994706m²