Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9430 / 7378
↖ ↑ ↗
← N 69.832048°
W 76.398926°		 ← 421.19 m → N 69.832048°
W 76.387939°		 →
↑
421.25 m
↓
↑
421.25 m
↓
N 69.828260°
W 76.398926°		 ← 421.26 m →
177 442 m²		 N 69.828260°
W 76.387939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287796020507812 y=0.225173950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287796020507812 × 215)
    floor (0.287796020507812 × 32768)
    floor (9430.5)     		tx = 9430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225173950195312 × 215)
    floor (0.225173950195312 × 32768)
    floor (7378.5)     		ty = 7378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9430 / 7378 ti = "15/9430/7378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9430/7378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9430 ÷ 215
    9430 ÷ 32768     		x = 0.28778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7378 ÷ 215
    7378 ÷ 32768     		y = 0.22515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.4244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.33341280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22515869140625 × 2 - 1) × π
    0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33341280} λ = -1.33341280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7268788719129))-π/2
    2×atan(5.6230761505714)-π/2
    2×1.39479774145818-π/2
    2.78959548291636-1.57079632675     		φ = 1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33341280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.398926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9430 KachelY 7378 -1.33341280 1.21879916 -76.398926 69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 9431 KachelY 7378 -1.33322105 1.21879916 -76.387939 69.832048
    Unten links KachelX 9430 KachelY + 1 7379 -1.33341280 1.21873304 -76.398926 69.828260
    Unten rechts KachelX + 1 9431 KachelY + 1 7379 -1.33322105 1.21873304 -76.387939 69.828260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21879916-1.21873304) × R
    6.61200000000584e-05 × 6371000     		dl = 421.250520000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21879916-1.21873304) × R
    6.61200000000584e-05 × 6371000     		dr = 421.250520000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33341280--1.33322105) × cos(1.21879916) × R
    0.000191750000000157 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 421.188481219302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33341280--1.33322105) × cos(1.21873304) × R
    0.000191750000000157 × 0.344835271510304 × 6371000     		du = 421.26430246174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21879916)-sin(1.21873304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344835271510304)×R²
    abs(-1.33322105--1.33341280)×6.20651656678683e-05×R²
    0.000191750000000157×6.20651656678683e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.20651656678683e-05×40589641000000     		ar = 177441.836665m²