Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 943 / 938
↖ ↑ ↗
← S 81.621352°
E151.523438°		 ← 5 696.26 m → S 81.621352°
E151.875000°		 →
↑
5 678.98 m
↓
↑
5 678.98 m
↓
S 81.672424°
E151.523438°		 ← 5 661.78 m →
32 251 053 m²		 S 81.672424°
E151.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92138671875 y=0.91650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92138671875 × 210)
    floor (0.92138671875 × 1024)
    floor (943.5)     		tx = 943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91650390625 × 210)
    floor (0.91650390625 × 1024)
    floor (938.5)     		ty = 938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 943 / 938 ti = "10/943/938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/943/938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 943 ÷ 210
    943 ÷ 1024     		x = 0.9208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 938 ÷ 210
    938 ÷ 1024     		y = 0.916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9208984375 × 2 - 1) × π
    0.841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.64458288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64458288} λ = 2.64458288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61390326248242))-π/2
    2×atan(0.0732480785753369)-π/2
    2×0.0731174998314953-π/2
    0.146234999662991-1.57079632675     		φ = -1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64458288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.523438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 943 KachelY 938 2.64458288 -1.42456133 151.523438 -81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 944 KachelY 938 2.65071880 -1.42456133 151.875000 -81.621352
    Unten links KachelX 943 KachelY + 1 939 2.64458288 -1.42545271 151.523438 -81.672424
    Unten rechts KachelX + 1 944 KachelY + 1 939 2.65071880 -1.42545271 151.875000 -81.672424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42456133--1.42545271) × R
    0.000891380000000108 × 6371000     		dl = 5678.98198000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42456133--1.42545271) × R
    0.000891380000000108 × 6371000     		dr = 5678.98198000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64458288-2.65071880) × cos(-1.42456133) × R
    0.00613591999999974 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 5696.25777619929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64458288-2.65071880) × cos(-1.42545271) × R
    0.00613591999999974 × 0.144832432021451 × 6371000     		du = 5661.78165797738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42456133)-sin(-1.42545271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.144832432021451)×R²
    abs(2.65071880-2.64458288)×0.000881923809566587×R²
    0.00613591999999974×0.000881923809566587×6371000²
    0.00613591999999974×0.000881923809566587×40589641000000     		ar = 32251052.7728679m²