Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 943 / 873
↖ ↑ ↗
← N 25.641526°
W 14.238281°		 ← 17.621 km → N 25.641526°
W 14.062500°		 →
↑
17.633 km
↓
↑
17.633 km
↓
N 25.482951°
W 14.238281°		 ← 17.644 km →
310.914 km²		 N 25.482951°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460693359375 y=0.426513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460693359375 × 211)
    floor (0.460693359375 × 2048)
    floor (943.5)     		tx = 943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426513671875 × 211)
    floor (0.426513671875 × 2048)
    floor (873.5)     		ty = 873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 943 / 873 ti = "11/943/873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/943/873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 943 ÷ 211
    943 ÷ 2048     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 873 ÷ 211
    873 ÷ 2048     		y = 0.42626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.463262197928223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463262197928223))-π/2
    2×atan(1.58924998584589)-π/2
    2×1.00916269361496-π/2
    2.01832538722992-1.57079632675     		φ = 0.44752906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44752906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.641526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 943 KachelY 873 -0.24850489 0.44752906 -14.238281 25.641526
    Oben rechts KachelX + 1 944 KachelY 873 -0.24543693 0.44752906 -14.062500 25.641526
    Unten links KachelX 943 KachelY + 1 874 -0.24850489 0.44476140 -14.238281 25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 944 KachelY + 1 874 -0.24543693 0.44476140 -14.062500 25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44752906-0.44476140) × R
    0.00276766000000001 × 6371000     		dl = 17632.76186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44752906-0.44476140) × R
    0.00276766000000001 × 6371000     		dr = 17632.76186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24543693) × cos(0.44752906) × R
    0.00306796000000001 × 0.901519126137334 × 6371000     		do = 17621.068642707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24543693) × cos(0.44476140) × R
    0.00306796000000001 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 17644.4108507094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44752906)-sin(0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901519126137334-0.902713346952603)×R²
    abs(-0.24543693--0.24850489)×0.00119422081526943×R²
    0.00306796000000001×0.00119422081526943×6371000²
    0.00306796000000001×0.00119422081526943×40589641000000     		ar = 310914099.358414m²