Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 943 / 467
↖ ↑ ↗
← N 69.472968°
W 14.238281°		 ← 6 853.78 m → N 69.472968°
W 14.062500°		 →
↑
6 863.61 m
↓
↑
6 863.61 m
↓
N 69.411243°
W 14.238281°		 ← 6 873.50 m →
47 109 317 m²		 N 69.411243°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460693359375 y=0.228271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460693359375 × 211)
    floor (0.460693359375 × 2048)
    floor (943.5)     		tx = 943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228271484375 × 211)
    floor (0.228271484375 × 2048)
    floor (467.5)     		ty = 467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 943 / 467 ti = "11/943/467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/943/467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 943 ÷ 211
    943 ÷ 2048     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 467 ÷ 211
    467 ÷ 2048     		y = 0.22802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22802734375 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70885459765576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70885459765576))-π/2
    2×atan(5.52263221765291)-π/2
    2×1.39166418447987-π/2
    2.78332836895974-1.57079632675     		φ = 1.21253204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21253204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.472968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 943 KachelY 467 -0.24850489 1.21253204 -14.238281 69.472968
    Oben rechts KachelX + 1 944 KachelY 467 -0.24543693 1.21253204 -14.062500 69.472968
    Unten links KachelX 943 KachelY + 1 468 -0.24850489 1.21145472 -14.238281 69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 944 KachelY + 1 468 -0.24543693 1.21145472 -14.062500 69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21253204-1.21145472) × R
    0.00107731999999983 × 6371000     		dl = 6863.60571999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21253204-1.21145472) × R
    0.00107731999999983 × 6371000     		dr = 6863.60571999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24543693) × cos(1.21253204) × R
    0.00306796000000001 × 0.350649254967064 × 6371000     		do = 6853.78092616025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24543693) × cos(1.21145472) × R
    0.00306796000000001 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 6873.49722079902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21253204)-sin(1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350649254967064-0.351657968858022)×R²
    abs(-0.24543693--0.24850489)×0.0010087138909573×R²
    0.00306796000000001×0.0010087138909573×6371000²
    0.00306796000000001×0.0010087138909573×40589641000000     		ar = 47109316.9610684m²