Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 943 / 1231
↖ ↑ ↗
← S 34.161818°
W 14.238281°		 ← 16.173 km → S 34.161818°
W 14.062500°		 →
↑
16.159 km
↓
↑
16.159 km
↓
S 34.307144°
W 14.238281°		 ← 16.146 km →
261.129 km²		 S 34.307144°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460693359375 y=0.601318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460693359375 × 211)
    floor (0.460693359375 × 2048)
    floor (943.5)     		tx = 943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601318359375 × 211)
    floor (0.601318359375 × 2048)
    floor (1231.5)     		ty = 1231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 943 / 1231 ti = "11/943/1231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/943/1231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 943 ÷ 211
    943 ÷ 2048     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1231 ÷ 211
    1231 ÷ 2048     		y = 0.60107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.635068046166504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.635068046166504))-π/2
    2×atan(0.529899429465941)-π/2
    2×0.487280060714425-π/2
    0.974560121428851-1.57079632675     		φ = -0.59623621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59623621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.161818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 943 KachelY 1231 -0.24850489 -0.59623621 -14.238281 -34.161818
    Oben rechts KachelX + 1 944 KachelY 1231 -0.24543693 -0.59623621 -14.062500 -34.161818
    Unten links KachelX 943 KachelY + 1 1232 -0.24850489 -0.59877262 -14.238281 -34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 944 KachelY + 1 1232 -0.24543693 -0.59877262 -14.062500 -34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59623621--0.59877262) × R
    0.00253640999999993 × 6371000     		dl = 16159.4681099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59623621--0.59877262) × R
    0.00253640999999993 × 6371000     		dr = 16159.4681099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24543693) × cos(-0.59623621) × R
    0.00306796000000001 × 0.82745495969421 × 6371000     		do = 16173.4124332919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24543693) × cos(-0.59877262) × R
    0.00306796000000001 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 16145.5215854665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59623621)-sin(-0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82745495969421-0.826028023946516)×R²
    abs(-0.24543693--0.24850489)×0.00142693574769381×R²
    0.00306796000000001×0.00142693574769381×6371000²
    0.00306796000000001×0.00142693574769381×40589641000000     		ar = 261128531.807497m²