Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9429 / 7460
↖ ↑ ↗
← N 15.876809°
E 27.180176°		 ← 2 350.01 m → N 15.876809°
E 27.202148°		 →
↑
2 350.13 m
↓
↑
2 350.13 m
↓
N 15.855674°
E 27.180176°		 ← 2 350.26 m →
5 523 132 m²		 N 15.855674°
E 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575531005859375 y=0.455352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575531005859375 × 214)
    floor (0.575531005859375 × 16384)
    floor (9429.5)     		tx = 9429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455352783203125 × 214)
    floor (0.455352783203125 × 16384)
    floor (7460.5)     		ty = 7460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9429 / 7460 ti = "14/9429/7460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9429/7460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9429 ÷ 214
    9429 ÷ 16384     		x = 0.57550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7460 ÷ 214
    7460 ÷ 16384     		y = 0.455322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57550048828125 × 2 - 1) × π
    0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    0.08935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.280718484175049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47438356} λ = 0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.280718484175049))-π/2
    2×atan(1.32408080176365)-π/2
    2×0.92394945983351-π/2
    1.84789891966702-1.57079632675     		φ = 0.27710259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27710259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.876809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9429 KachelY 7460 0.47438356 0.27710259 27.180176 15.876809
    Oben rechts KachelX + 1 9430 KachelY 7460 0.47476705 0.27710259 27.202148 15.876809
    Unten links KachelX 9429 KachelY + 1 7461 0.47438356 0.27673371 27.180176 15.855674
    Unten rechts KachelX + 1 9430 KachelY + 1 7461 0.47476705 0.27673371 27.202148 15.855674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27710259-0.27673371) × R
    0.00036887999999996 × 6371000     		dl = 2350.13447999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27710259-0.27673371) × R
    0.00036887999999996 × 6371000     		dr = 2350.13447999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47438356-0.47476705) × cos(0.27710259) × R
    0.000383490000000042 × 0.961852118790113 × 6371000     		do = 2350.0113224211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47438356-0.47476705) × cos(0.27673371) × R
    0.000383490000000042 × 0.961952967819429 × 6371000     		du = 2350.25771826108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27710259)-sin(0.27673371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961852118790113-0.961952967819429)×R²
    abs(0.47476705-0.47438356)×0.000100849029315953×R²
    0.000383490000000042×0.000100849029315953×6371000²
    0.000383490000000042×0.000100849029315953×40589641000000     		ar = 5523132.2315199m²