Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9427 / 7586
↖ ↑ ↗
← N 13.197164°
E 27.136231°		 ← 2 378.69 m → N 13.197164°
E 27.158203°		 →
↑
2 378.80 m
↓
↑
2 378.80 m
↓
N 13.175771°
E 27.136231°		 ← 2 378.90 m →
5 658 685 m²		 N 13.175771°
E 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575408935546875 y=0.463043212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575408935546875 × 214)
    floor (0.575408935546875 × 16384)
    floor (9427.5)     		tx = 9427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463043212890625 × 214)
    floor (0.463043212890625 × 16384)
    floor (7586.5)     		ty = 7586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9427 / 7586 ti = "14/9427/7586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9427/7586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9427 ÷ 214
    9427 ÷ 16384     		x = 0.57537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7586 ÷ 214
    7586 ÷ 16384     		y = 0.4630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57537841796875 × 2 - 1) × π
    0.1507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47361657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.232398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47361657} λ = 0.47361657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232398089358032))-π/2
    2×atan(1.2616218671129)-π/2
    2×0.900565149823544-π/2
    1.80113029964709-1.57079632675     		φ = 0.23033397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47361657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.136231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23033397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.197164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9427 KachelY 7586 0.47361657 0.23033397 27.136231 13.197164
    Oben rechts KachelX + 1 9428 KachelY 7586 0.47400006 0.23033397 27.158203 13.197164
    Unten links KachelX 9427 KachelY + 1 7587 0.47361657 0.22996059 27.136231 13.175771
    Unten rechts KachelX + 1 9428 KachelY + 1 7587 0.47400006 0.22996059 27.158203 13.175771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23033397-0.22996059) × R
    0.000373380000000006 × 6371000     		dl = 2378.80398000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23033397-0.22996059) × R
    0.000373380000000006 × 6371000     		dr = 2378.80398000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47361657-0.47400006) × cos(0.23033397) × R
    0.000383489999999986 × 0.973590203053847 × 6371000     		do = 2378.68998350018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47361657-0.47400006) × cos(0.22996059) × R
    0.000383489999999986 × 0.973675378843451 × 6371000     		du = 2378.89808624909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23033397)-sin(0.22996059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973590203053847-0.973675378843451)×R²
    abs(0.47400006-0.47361657)×8.51757896038752e-05×R²
    0.000383489999999986×8.51757896038752e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.51757896038752e-05×40589641000000     		ar = 5658684.78350098m²