Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9426 / 4021
↖ ↑ ↗
← N 82.728616°
W128.221435°		 ← 77.31 m → N 82.728616°
W128.215942°		 →
↑
77.34 m
↓
↑
77.34 m
↓
N 82.727921°
W128.221435°		 ← 77.31 m →
5 980 m²		 N 82.727921°
W128.215942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143836975097656 y=0.0613632202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143836975097656 × 216)
    floor (0.143836975097656 × 65536)
    floor (9426.5)     		tx = 9426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0613632202148438 × 216)
    floor (0.0613632202148438 × 65536)
    floor (4021.5)     		ty = 4021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9426 / 4021 ti = "16/9426/4021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9426/4021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9426 ÷ 216
    9426 ÷ 65536     		x = 0.143829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4021 ÷ 216
    4021 ÷ 65536     		y = 0.0613555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.71234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23788622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0613555908203125 × 2 - 1) × π
    0.877288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.75608410675551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23788622} λ = -2.23788622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75608410675551))-π/2
    2×atan(15.7380934311604)-π/2
    2×1.50734153326024-π/2
    3.01468306652048-1.57079632675     		φ = 1.44388674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23788622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.221435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44388674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.728616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9426 KachelY 4021 -2.23788622 1.44388674 -128.221435 82.728616
    Oben rechts KachelX + 1 9427 KachelY 4021 -2.23779035 1.44388674 -128.215942 82.728616
    Unten links KachelX 9426 KachelY + 1 4022 -2.23788622 1.44387460 -128.221435 82.727921
    Unten rechts KachelX + 1 9427 KachelY + 1 4022 -2.23779035 1.44387460 -128.215942 82.727921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44388674-1.44387460) × R
    1.21399999999383e-05 × 6371000     		dl = 77.343939999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44388674-1.44387460) × R
    1.21399999999383e-05 × 6371000     		dr = 77.343939999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23788622--2.23779035) × cos(1.44388674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1265691924825 × 6371000     		do = 77.3069148270853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23788622--2.23779035) × cos(1.44387460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126581234840636 × 6371000     		du = 77.3142701521564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44388674)-sin(1.44387460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1265691924825-0.126581234840636)×R²
    abs(-2.23779035--2.23788622)×1.20423581355111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20423581355111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20423581355111e-05×40589641000000     		ar = 5979.50582698692m²