Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9425 / 4017
↖ ↑ ↗
← N 82.731397°
W128.226929°		 ← 77.29 m → N 82.731397°
W128.221435°		 →
↑
77.28 m
↓
↑
77.28 m
↓
N 82.730702°
W128.226929°		 ← 77.29 m →
5 973 m²		 N 82.730702°
W128.221435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143821716308594 y=0.0613021850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143821716308594 × 216)
    floor (0.143821716308594 × 65536)
    floor (9425.5)     		tx = 9425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0613021850585938 × 216)
    floor (0.0613021850585938 × 65536)
    floor (4017.5)     		ty = 4017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9425 / 4017 ti = "16/9425/4017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9425/4017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9425 ÷ 216
    9425 ÷ 65536     		x = 0.143814086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4017 ÷ 216
    4017 ÷ 65536     		y = 0.0612945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143814086914062 × 2 - 1) × π
    -0.712371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23798210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0612945556640625 × 2 - 1) × π
    0.877410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.75646760195247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23798210} λ = -2.23798210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75646760195247))-π/2
    2×atan(15.7441300718379)-π/2
    2×1.50736579798341-π/2
    3.01473159596681-1.57079632675     		φ = 1.44393527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23798210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.226929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44393527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.731397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9425 KachelY 4017 -2.23798210 1.44393527 -128.226929 82.731397
    Oben rechts KachelX + 1 9426 KachelY 4017 -2.23788622 1.44393527 -128.221435 82.731397
    Unten links KachelX 9425 KachelY + 1 4018 -2.23798210 1.44392314 -128.226929 82.730702
    Unten rechts KachelX + 1 9426 KachelY + 1 4018 -2.23788622 1.44392314 -128.221435 82.730702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44393527-1.44392314) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dl = 77.2802299999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44393527-1.44392314) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dr = 77.2802299999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23798210--2.23788622) × cos(1.44393527) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126521052622356 × 6371000     		do = 77.2855722454733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23798210--2.23788622) × cos(1.44392314) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126533085135426 × 6371000     		du = 77.2929223238901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44393527)-sin(1.44392314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126521052622356-0.126533085135426)×R²
    abs(-2.23788622--2.23798210)×1.20325130698595e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20325130698595e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20325130698595e-05×40589641000000     		ar = 5972.93080677675m²