Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9424 / 4020
↖ ↑ ↗
← N 82.729311°
W128.232422°		 ← 77.30 m → N 82.729311°
W128.226929°		 →
↑
77.28 m
↓
↑
77.28 m
↓
N 82.728616°
W128.232422°		 ← 77.31 m →
5 974 m²		 N 82.728616°
W128.226929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143806457519531 y=0.0613479614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143806457519531 × 216)
    floor (0.143806457519531 × 65536)
    floor (9424.5)     		tx = 9424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0613479614257812 × 216)
    floor (0.0613479614257812 × 65536)
    floor (4020.5)     		ty = 4020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9424 / 4020 ti = "16/9424/4020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9424/4020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9424 ÷ 216
    9424 ÷ 65536     		x = 0.143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4020 ÷ 216
    4020 ÷ 65536     		y = 0.06134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.71240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23807797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06134033203125 × 2 - 1) × π
    0.8773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.75617998055475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23807797} λ = -2.23807797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75617998055475))-π/2
    2×atan(15.7396023743034)-π/2
    2×1.50734760030643-π/2
    3.01469520061286-1.57079632675     		φ = 1.44389887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23807797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.232422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44389887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.729311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9424 KachelY 4020 -2.23807797 1.44389887 -128.232422 82.729311
    Oben rechts KachelX + 1 9425 KachelY 4020 -2.23798210 1.44389887 -128.226929 82.729311
    Unten links KachelX 9424 KachelY + 1 4021 -2.23807797 1.44388674 -128.232422 82.728616
    Unten rechts KachelX + 1 9425 KachelY + 1 4021 -2.23798210 1.44388674 -128.226929 82.728616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44389887-1.44388674) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dl = 77.2802299999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44389887-1.44388674) × R
    1.21299999999991e-05 × 6371000     		dr = 77.2802299999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23807797--2.23798210) × cos(1.44389887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.126557160025304 × 6371000     		do = 77.2995655493869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23807797--2.23798210) × cos(1.44388674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1265691924825 × 6371000     		du = 77.3069148270853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44389887)-sin(1.44388674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126557160025304-0.1265691924825)×R²
    abs(-2.23798210--2.23807797)×1.20324571961372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.20324571961372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.20324571961372e-05×40589641000000     		ar = 5974.01218146201m²