Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9423 / 6958
↖ ↑ ↗
← N 26.155438°
E 27.048340°		 ← 2 193.03 m → N 26.155438°
E 27.070312°		 →
↑
2 193.28 m
↓
↑
2 193.28 m
↓
N 26.135713°
E 27.048340°		 ← 2 193.40 m →
4 810 343 m²		 N 26.135713°
E 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575164794921875 y=0.424713134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575164794921875 × 214)
    floor (0.575164794921875 × 16384)
    floor (9423.5)     		tx = 9423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424713134765625 × 214)
    floor (0.424713134765625 × 16384)
    floor (6958.5)     		ty = 6958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9423 / 6958 ti = "14/9423/6958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9423/6958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9423 ÷ 214
    9423 ÷ 16384     		x = 0.57513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6958 ÷ 214
    6958 ÷ 16384     		y = 0.4246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57513427734375 × 2 - 1) × π
    0.1502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47208259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4246826171875 × 2 - 1) × π
    0.150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.473233073049194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47208259} λ = 0.47208259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473233073049194))-π/2
    2×atan(1.60517546252018)-π/2
    2×1.01364741831897-π/2
    2.02729483663794-1.57079632675     		φ = 0.45649851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47208259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45649851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.155438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9423 KachelY 6958 0.47208259 0.45649851 27.048340 26.155438
    Oben rechts KachelX + 1 9424 KachelY 6958 0.47246608 0.45649851 27.070312 26.155438
    Unten links KachelX 9423 KachelY + 1 6959 0.47208259 0.45615425 27.048340 26.135713
    Unten rechts KachelX + 1 9424 KachelY + 1 6959 0.47246608 0.45615425 27.070312 26.135713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45649851-0.45615425) × R
    0.000344260000000041 × 6371000     		dl = 2193.28046000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45649851-0.45615425) × R
    0.000344260000000041 × 6371000     		dr = 2193.28046000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47208259-0.47246608) × cos(0.45649851) × R
    0.000383489999999986 × 0.89760148121631 × 6371000     		do = 2193.03321443352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47208259-0.47246608) × cos(0.45615425) × R
    0.000383489999999986 × 0.897753180542083 × 6371000     		du = 2193.40384846988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45649851)-sin(0.45615425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89760148121631-0.897753180542083)×R²
    abs(0.47246608-0.47208259)×0.000151699325773413×R²
    0.000383489999999986×0.000151699325773413×6371000²
    0.000383489999999986×0.000151699325773413×40589641000000     		ar = 4810343.39705184m²