Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9421 / 7106
↖ ↑ ↗
← N 23.200961°
E 27.004395°		 ← 2 245.63 m → N 23.200961°
E 27.026367°		 →
↑
2 245.84 m
↓
↑
2 245.84 m
↓
N 23.180764°
E 27.004395°		 ← 2 245.97 m →
5 043 707 m²		 N 23.180764°
E 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575042724609375 y=0.433746337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575042724609375 × 214)
    floor (0.575042724609375 × 16384)
    floor (9421.5)     		tx = 9421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433746337890625 × 214)
    floor (0.433746337890625 × 16384)
    floor (7106.5)     		ty = 7106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9421 / 7106 ti = "14/9421/7106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9421/7106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9421 ÷ 214
    9421 ÷ 16384     		x = 0.57501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7106 ÷ 214
    7106 ÷ 16384     		y = 0.4337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57501220703125 × 2 - 1) × π
    0.1500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47131560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4337158203125 × 2 - 1) × π
    0.132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.416475783899048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47131560} λ = 0.47131560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416475783899048))-π/2
    2×atan(1.51660727456277)-π/2
    2×0.987864741255545-π/2
    1.97572948251109-1.57079632675     		φ = 0.40493316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47131560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.004395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40493316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.200961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9421 KachelY 7106 0.47131560 0.40493316 27.004395 23.200961
    Oben rechts KachelX + 1 9422 KachelY 7106 0.47169909 0.40493316 27.026367 23.200961
    Unten links KachelX 9421 KachelY + 1 7107 0.47131560 0.40458065 27.004395 23.180764
    Unten rechts KachelX + 1 9422 KachelY + 1 7107 0.47169909 0.40458065 27.026367 23.180764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40493316-0.40458065) × R
    0.000352510000000028 × 6371000     		dl = 2245.84121000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40493316-0.40458065) × R
    0.000352510000000028 × 6371000     		dr = 2245.84121000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47131560-0.47169909) × cos(0.40493316) × R
    0.000383489999999986 × 0.919128731326614 × 6371000     		do = 2245.62891029104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47131560-0.47169909) × cos(0.40458065) × R
    0.000383489999999986 × 0.919267548113984 × 6371000     		du = 2245.96806951904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40493316)-sin(0.40458065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919128731326614-0.919267548113984)×R²
    abs(0.47169909-0.47131560)×0.000138816787370044×R²
    0.000383489999999986×0.000138816787370044×6371000²
    0.000383489999999986×0.000138816787370044×40589641000000     		ar = 5043706.85021345m²