Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9420 / 6852
↖ ↑ ↗
← N 28.226970°
E 26.982422°		 ← 2 152.73 m → N 28.226970°
E 27.004395°		 →
↑
2 152.95 m
↓
↑
2 152.95 m
↓
N 28.207608°
E 26.982422°		 ← 2 153.12 m →
4 635 136 m²		 N 28.207608°
E 27.004395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574981689453125 y=0.418243408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574981689453125 × 214)
    floor (0.574981689453125 × 16384)
    floor (9420.5)     		tx = 9420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418243408203125 × 214)
    floor (0.418243408203125 × 16384)
    floor (6852.5)     		ty = 6852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9420 / 6852 ti = "14/9420/6852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9420/6852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9420 ÷ 214
    9420 ÷ 16384     		x = 0.574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6852 ÷ 214
    6852 ÷ 16384     		y = 0.418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574951171875 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47093210} λ = 0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513883563927002))-π/2
    2×atan(1.67177103404912)-π/2
    2×1.03172494591144-π/2
    2.06344989182287-1.57079632675     		φ = 0.49265357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49265357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9420 KachelY 6852 0.47093210 0.49265357 26.982422 28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 9421 KachelY 6852 0.47131560 0.49265357 27.004395 28.226970
    Unten links KachelX 9420 KachelY + 1 6853 0.47093210 0.49231564 26.982422 28.207608
    Unten rechts KachelX + 1 9421 KachelY + 1 6853 0.47131560 0.49231564 27.004395 28.207608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49265357-0.49231564) × R
    0.000337929999999986 × 6371000     		dl = 2152.95202999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49265357-0.49231564) × R
    0.000337929999999986 × 6371000     		dr = 2152.95202999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47093210-0.47131560) × cos(0.49265357) × R
    0.000383499999999981 × 0.88108091489529 × 6371000     		do = 2152.72605612388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47093210-0.47131560) × cos(0.49231564) × R
    0.000383499999999981 × 0.881240693835844 × 6371000     		du = 2153.11644057409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49265357)-sin(0.49231564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88108091489529-0.881240693835844)×R²
    abs(0.47131560-0.47093210)×0.000159778940554189×R²
    0.000383499999999981×0.000159778940554189×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159778940554189×40589641000000     		ar = 4635136.2161725m²