Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 942 / 631
↖ ↑ ↗
← N 56.656226°
W 14.414063°		 ← 10.744 km → N 56.656226°
W 14.238281°		 →
↑
10.757 km
↓
↑
10.757 km
↓
N 56.559482°
W 14.414063°		 ← 10.771 km →
115.722 km²		 N 56.559482°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460205078125 y=0.308349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460205078125 × 211)
    floor (0.460205078125 × 2048)
    floor (942.5)     		tx = 942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308349609375 × 211)
    floor (0.308349609375 × 2048)
    floor (631.5)     		ty = 631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 942 / 631 ti = "11/942/631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/942/631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 942 ÷ 211
    942 ÷ 2048     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 631 ÷ 211
    631 ÷ 2048     		y = 0.30810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30810546875 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20570889924365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20570889924365))-π/2
    2×atan(3.33912534267661)-π/2
    2×1.2798170104216-π/2
    2.55963402084321-1.57079632675     		φ = 0.98883769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98883769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.656226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 942 KachelY 631 -0.25157285 0.98883769 -14.414063 56.656226
    Oben rechts KachelX + 1 943 KachelY 631 -0.24850489 0.98883769 -14.238281 56.656226
    Unten links KachelX 942 KachelY + 1 632 -0.25157285 0.98714919 -14.414063 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 943 KachelY + 1 632 -0.24850489 0.98714919 -14.238281 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98883769-0.98714919) × R
    0.00168849999999998 × 6371000     		dl = 10757.4334999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98883769-0.98714919) × R
    0.00168849999999998 × 6371000     		dr = 10757.4334999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.24850489) × cos(0.98883769) × R
    0.00306796000000001 × 0.549661211087751 × 6371000     		do = 10743.6632790143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.24850489) × cos(0.98714919) × R
    0.00306796000000001 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 10771.2185636422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98883769)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549661211087751-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.24850489--0.25157285)×0.00140976785357882×R²
    0.00306796000000001×0.00140976785357882×6371000²
    0.00306796000000001×0.00140976785357882×40589641000000     		ar = 115722482.835409m²