Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 942 / 627
↖ ↑ ↗
← N 57.040730°
W 14.414063°		 ← 10.634 km → N 57.040730°
W 14.238281°		 →
↑
10.648 km
↓
↑
10.648 km
↓
N 56.944974°
W 14.414063°		 ← 10.661 km →
113.370 km²		 N 56.944974°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460205078125 y=0.306396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460205078125 × 211)
    floor (0.460205078125 × 2048)
    floor (942.5)     		tx = 942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306396484375 × 211)
    floor (0.306396484375 × 2048)
    floor (627.5)     		ty = 627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 942 / 627 ti = "11/942/627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/942/627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 942 ÷ 211
    942 ÷ 2048     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 627 ÷ 211
    627 ÷ 2048     		y = 0.30615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30615234375 × 2 - 1) × π
    0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21798074554639))-π/2
    2×atan(3.38035504049963)-π/2
    2×1.28317243509796-π/2
    2.56634487019593-1.57079632675     		φ = 0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 942 KachelY 627 -0.25157285 0.99554854 -14.414063 57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 943 KachelY 627 -0.24850489 0.99554854 -14.238281 57.040730
    Unten links KachelX 942 KachelY + 1 628 -0.25157285 0.99387729 -14.414063 56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 943 KachelY + 1 628 -0.24850489 0.99387729 -14.238281 56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99554854-0.99387729) × R
    0.00167125000000001 × 6371000     		dl = 10647.5337500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99554854-0.99387729) × R
    0.00167125000000001 × 6371000     		dr = 10647.5337500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.24850489) × cos(0.99554854) × R
    0.00306796000000001 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 10633.8443005372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.24850489) × cos(0.99387729) × R
    0.00306796000000001 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 10661.2382644357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99554854)-sin(0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.24850489--0.25157285)×0.00140151445386261×R²
    0.00306796000000001×0.00140151445386261×6371000²
    0.00306796000000001×0.00140151445386261×40589641000000     		ar = 113370081.54741m²