Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9418 / 25801
↖ ↑ ↗
← S 71.332467°
W 76.530762°		 ← 391.02 m → S 71.332467°
W 76.519775°		 →
↑
390.99 m
↓
↑
390.99 m
↓
S 71.335983°
W 76.530762°		 ← 390.95 m →
152 869 m²		 S 71.335983°
W 76.519775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287429809570312 y=0.787399291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287429809570312 × 215)
    floor (0.287429809570312 × 32768)
    floor (9418.5)     		tx = 9418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787399291992188 × 215)
    floor (0.787399291992188 × 32768)
    floor (25801.5)     		ty = 25801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9418 / 25801 ti = "15/9418/25801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9418/25801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9418 ÷ 215
    9418 ÷ 32768     		x = 0.28741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25801 ÷ 215
    25801 ÷ 32768     		y = 0.787384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33571377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.57476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80568713488828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33571377} λ = -1.33571377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80568713488828))-π/2
    2×atan(0.164361479259584)-π/2
    2×0.162904957399325-π/2
    0.325809914798649-1.57079632675     		φ = -1.24498641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33571377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24498641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.332467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9418 KachelY 25801 -1.33571377 -1.24498641 -76.530762 -71.332467
    Oben rechts KachelX + 1 9419 KachelY 25801 -1.33552202 -1.24498641 -76.519775 -71.332467
    Unten links KachelX 9418 KachelY + 1 25802 -1.33571377 -1.24504778 -76.530762 -71.335983
    Unten rechts KachelX + 1 9419 KachelY + 1 25802 -1.33552202 -1.24504778 -76.519775 -71.335983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24498641--1.24504778) × R
    6.13699999998385e-05 × 6371000     		dl = 390.988269998971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24498641--1.24504778) × R
    6.13699999998385e-05 × 6371000     		dr = 390.988269998971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33571377--1.33552202) × cos(-1.24498641) × R
    0.000191749999999935 × 0.320076199284387 × 6371000     		do = 391.017648036496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33571377--1.33552202) × cos(-1.24504778) × R
    0.000191749999999935 × 0.320018057246782 × 6371000     		du = 390.946619441283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24498641)-sin(-1.24504778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320076199284387-0.320018057246782)×R²
    abs(-1.33552202--1.33571377)×5.81420376049024e-05×R²
    0.000191749999999935×5.81420376049024e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.81420376049024e-05×40589641000000     		ar = 152869.428119552m²