Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9417 / 6951
↖ ↑ ↗
← N 26.293415°
E 26.916504°		 ← 2 190.43 m → N 26.293415°
E 26.938476°		 →
↑
2 190.60 m
↓
↑
2 190.60 m
↓
N 26.273714°
E 26.916504°		 ← 2 190.81 m →
4 798 781 m²		 N 26.273714°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574798583984375 y=0.424285888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574798583984375 × 214)
    floor (0.574798583984375 × 16384)
    floor (9417.5)     		tx = 9417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424285888671875 × 214)
    floor (0.424285888671875 × 16384)
    floor (6951.5)     		ty = 6951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9417 / 6951 ti = "14/9417/6951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9417/6951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9417 ÷ 214
    9417 ÷ 16384     		x = 0.57476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6951 ÷ 214
    6951 ÷ 16384     		y = 0.42425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57476806640625 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46978162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42425537109375 × 2 - 1) × π
    0.1514892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.475917539427917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46978162} λ = 0.46978162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475917539427917))-π/2
    2×atan(1.60949029099607)-π/2
    2×1.01485149510021-π/2
    2.02970299020042-1.57079632675     		φ = 0.45890666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46978162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45890666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.293415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9417 KachelY 6951 0.46978162 0.45890666 26.916504 26.293415
    Oben rechts KachelX + 1 9418 KachelY 6951 0.47016511 0.45890666 26.938476 26.293415
    Unten links KachelX 9417 KachelY + 1 6952 0.46978162 0.45856282 26.916504 26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 9418 KachelY + 1 6952 0.47016511 0.45856282 26.938476 26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45890666-0.45856282) × R
    0.00034384000000004 × 6371000     		dl = 2190.60464000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45890666-0.45856282) × R
    0.00034384000000004 × 6371000     		dr = 2190.60464000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46978162-0.47016511) × cos(0.45890666) × R
    0.000383489999999986 × 0.896537348084991 × 6371000     		do = 2190.43330862855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46978162-0.47016511) × cos(0.45856282) × R
    0.000383489999999986 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 2190.80530559651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45890666)-sin(0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896537348084991-0.896689605254309)×R²
    abs(0.47016511-0.46978162)×0.000152257169318548×R²
    0.000383489999999986×0.000152257169318548×6371000²
    0.000383489999999986×0.000152257169318548×40589641000000     		ar = 4798780.86591359m²