Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9416 / 7240
↖ ↑ ↗
← N 20.468189°
E 26.894531°		 ← 2 289.03 m → N 20.468189°
E 26.916504°		 →
↑
2 289.10 m
↓
↑
2 289.10 m
↓
N 20.447603°
E 26.894531°		 ← 2 289.33 m →
5 240 161 m²		 N 20.447603°
E 26.916504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574737548828125 y=0.441925048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574737548828125 × 214)
    floor (0.574737548828125 × 16384)
    floor (9416.5)     		tx = 9416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441925048828125 × 214)
    floor (0.441925048828125 × 16384)
    floor (7240.5)     		ty = 7240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9416 / 7240 ti = "14/9416/7240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9416/7240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9416 ÷ 214
    9416 ÷ 16384     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7240 ÷ 214
    7240 ÷ 16384     		y = 0.44189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365087427506348))-π/2
    2×atan(1.4406399542023)-π/2
    2×0.964016810320712-π/2
    1.92803362064142-1.57079632675     		φ = 0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9416 KachelY 7240 0.46939812 0.35723729 26.894531 20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 9417 KachelY 7240 0.46978162 0.35723729 26.916504 20.468189
    Unten links KachelX 9416 KachelY + 1 7241 0.46939812 0.35687799 26.894531 20.447603
    Unten rechts KachelX + 1 9417 KachelY + 1 7241 0.46978162 0.35687799 26.916504 20.447603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35723729-0.35687799) × R
    0.000359300000000007 × 6371000     		dl = 2289.10030000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35723729-0.35687799) × R
    0.000359300000000007 × 6371000     		dr = 2289.10030000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.46978162) × cos(0.35723729) × R
    0.000383500000000037 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 2289.02573367653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.46978162) × cos(0.35687799) × R
    0.000383500000000037 × 0.936992064505939 × 6371000     		du = 2289.33256587819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35723729)-sin(0.35687799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.936992064505939)×R²
    abs(0.46978162-0.46939812)×0.000125582164155924×R²
    0.000383500000000037×0.000125582164155924×6371000²
    0.000383500000000037×0.000125582164155924×40589641000000     		ar = 5240160.7348836m²