Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9416 / 6837
↖ ↑ ↗
← N 28.516969°
E 26.894531°		 ← 2 146.85 m → N 28.516969°
E 26.916504°		 →
↑
2 147.03 m
↓
↑
2 147.03 m
↓
N 28.497661°
E 26.894531°		 ← 2 147.24 m →
4 609 766 m²		 N 28.497661°
E 26.916504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574737548828125 y=0.417327880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574737548828125 × 214)
    floor (0.574737548828125 × 16384)
    floor (9416.5)     		tx = 9416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417327880859375 × 214)
    floor (0.417327880859375 × 16384)
    floor (6837.5)     		ty = 6837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9416 / 6837 ti = "14/9416/6837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9416/6837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9416 ÷ 214
    9416 ÷ 16384     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6837 ÷ 214
    6837 ÷ 16384     		y = 0.41729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41729736328125 × 2 - 1) × π
    0.1654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.519635991881409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519635991881409))-π/2
    2×atan(1.68141548940112)-π/2
    2×1.03425566810372-π/2
    2.06851133620745-1.57079632675     		φ = 0.49771501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49771501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.516969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9416 KachelY 6837 0.46939812 0.49771501 26.894531 28.516969
    Oben rechts KachelX + 1 9417 KachelY 6837 0.46978162 0.49771501 26.916504 28.516969
    Unten links KachelX 9416 KachelY + 1 6838 0.46939812 0.49737801 26.894531 28.497661
    Unten rechts KachelX + 1 9417 KachelY + 1 6838 0.46978162 0.49737801 26.916504 28.497661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49771501-0.49737801) × R
    0.000337000000000032 × 6371000     		dl = 2147.0270000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49771501-0.49737801) × R
    0.000337000000000032 × 6371000     		dr = 2147.0270000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.46978162) × cos(0.49771501) × R
    0.000383500000000037 × 0.878675752491587 × 6371000     		do = 2146.84957453422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.46978162) × cos(0.49737801) × R
    0.000383500000000037 × 0.878836592803586 × 6371000     		du = 2147.24255221046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49771501)-sin(0.49737801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878675752491587-0.878836592803586)×R²
    abs(0.46978162-0.46939812)×0.000160840311999699×R²
    0.000383500000000037×0.000160840311999699×6371000²
    0.000383500000000037×0.000160840311999699×40589641000000     		ar = 4609765.91193253m²