Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9416 / 5576
↖ ↑ ↗
← N 75.650431°
W 76.552735°		 ← 302.77 m → N 75.650431°
W 76.541748°		 →
↑
302.81 m
↓
↑
302.81 m
↓
N 75.647708°
W 76.552735°		 ← 302.82 m →
91 691 m²		 N 75.647708°
W 76.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287368774414062 y=0.170181274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287368774414062 × 215)
    floor (0.287368774414062 × 32768)
    floor (9416.5)     		tx = 9416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170181274414062 × 215)
    floor (0.170181274414062 × 32768)
    floor (5576.5)     		ty = 5576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9416 / 5576 ti = "15/9416/5576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9416/5576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9416 ÷ 215
    9416 ÷ 32768     		x = 0.287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5576 ÷ 215
    5576 ÷ 32768     		y = 0.170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.42529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33609727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170166015625 × 2 - 1) × π
    0.65966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07240804437427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33609727} λ = -1.33609727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07240804437427))-π/2
    2×atan(7.94392943877719)-π/2
    2×1.44557271411938-π/2
    2.89114542823877-1.57079632675     		φ = 1.32034910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33609727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.552735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32034910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.650431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9416 KachelY 5576 -1.33609727 1.32034910 -76.552735 75.650431
    Oben rechts KachelX + 1 9417 KachelY 5576 -1.33590552 1.32034910 -76.541748 75.650431
    Unten links KachelX 9416 KachelY + 1 5577 -1.33609727 1.32030157 -76.552735 75.647708
    Unten rechts KachelX + 1 9417 KachelY + 1 5577 -1.33590552 1.32030157 -76.541748 75.647708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32034910-1.32030157) × R
    4.75300000000178e-05 × 6371000     		dl = 302.813630000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32034910-1.32030157) × R
    4.75300000000178e-05 × 6371000     		dr = 302.813630000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33609727--1.33590552) × cos(1.32034910) × R
    0.000191749999999935 × 0.247837258095119 × 6371000     		do = 302.767722101275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33609727--1.33590552) × cos(1.32030157) × R
    0.000191749999999935 × 0.247883304958967 × 6371000     		du = 302.823974757491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32034910)-sin(1.32030157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247837258095119-0.247883304958967)×R²
    abs(-1.33590552--1.33609727)×4.60468638474043e-05×R²
    0.000191749999999935×4.60468638474043e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.60468638474043e-05×40589641000000     		ar = 91690.710028958m²