Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9413 / 6975
↖ ↑ ↗
← N 71.304315°
W 76.585693°		 ← 391.59 m → N 71.304315°
W 76.574707°		 →
↑
391.56 m
↓
↑
391.56 m
↓
N 71.300793°
W 76.585693°		 ← 391.66 m →
153 344 m²		 N 71.300793°
W 76.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287277221679688 y=0.212875366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287277221679688 × 215)
    floor (0.287277221679688 × 32768)
    floor (9413.5)     		tx = 9413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212875366210938 × 215)
    floor (0.212875366210938 × 32768)
    floor (6975.5)     		ty = 6975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9413 / 6975 ti = "15/9413/6975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9413/6975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9413 ÷ 215
    9413 ÷ 32768     		x = 0.287261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6975 ÷ 215
    6975 ÷ 32768     		y = 0.212860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.42547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33667251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212860107421875 × 2 - 1) × π
    0.57427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80415315410043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33667251} λ = -1.33667251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80415315410043))-π/2
    2×atan(6.07482482913401)-π/2
    2×1.40764569556343-π/2
    2.81529139112686-1.57079632675     		φ = 1.24449506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33667251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.585693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24449506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.304315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9413 KachelY 6975 -1.33667251 1.24449506 -76.585693 71.304315
    Oben rechts KachelX + 1 9414 KachelY 6975 -1.33648076 1.24449506 -76.574707 71.304315
    Unten links KachelX 9413 KachelY + 1 6976 -1.33667251 1.24443360 -76.585693 71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 9414 KachelY + 1 6976 -1.33648076 1.24443360 -76.574707 71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24449506-1.24443360) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dl = 391.56165999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24449506-1.24443360) × R
    6.14599999999577e-05 × 6371000     		dr = 391.56165999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33667251--1.33648076) × cos(1.24449506) × R
    0.000191750000000157 × 0.32054166159044 × 6371000     		do = 391.58627505942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33667251--1.33648076) × cos(1.24443360) × R
    0.000191750000000157 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 391.657394525426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24449506)-sin(1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32054166159044-0.320599878012355)×R²
    abs(-1.33648076--1.33667251)×5.82164219150583e-05×R²
    0.000191750000000157×5.82164219150583e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.82164219150583e-05×40589641000000     		ar = 153344.09577098m²