Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9410 / 6976
↖ ↑ ↗
← N 71.300793°
W 76.618652°		 ← 391.66 m → N 71.300793°
W 76.607666°		 →
↑
391.69 m
↓
↑
391.69 m
↓
N 71.297271°
W 76.618652°		 ← 391.73 m →
153 422 m²		 N 71.297271°
W 76.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287185668945312 y=0.212905883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287185668945312 × 215)
    floor (0.287185668945312 × 32768)
    floor (9410.5)     		tx = 9410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212905883789062 × 215)
    floor (0.212905883789062 × 32768)
    floor (6976.5)     		ty = 6976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9410 / 6976 ti = "15/9410/6976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9410/6976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9410 ÷ 215
    9410 ÷ 32768     		x = 0.28717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6976 ÷ 215
    6976 ÷ 32768     		y = 0.212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.4256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33724775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212890625 × 2 - 1) × π
    0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33724775} λ = -1.33724775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80396140650195))-π/2
    2×atan(6.07366010773167)-π/2
    2×1.40761496122588-π/2
    2.81522992245175-1.57079632675     		φ = 1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33724775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9410 KachelY 6976 -1.33724775 1.24443360 -76.618652 71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 9411 KachelY 6976 -1.33705600 1.24443360 -76.607666 71.300793
    Unten links KachelX 9410 KachelY + 1 6977 -1.33724775 1.24437212 -76.618652 71.297271
    Unten rechts KachelX + 1 9411 KachelY + 1 6977 -1.33705600 1.24437212 -76.607666 71.297271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24443360-1.24437212) × R
    6.14800000000582e-05 × 6371000     		dl = 391.68908000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24443360-1.24437212) × R
    6.14800000000582e-05 × 6371000     		dr = 391.68908000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33724775--1.33705600) × cos(1.24443360) × R
    0.000191749999999935 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 391.657394524973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33724775--1.33705600) × cos(1.24437212) × R
    0.000191749999999935 × 0.320658112167159 × 6371000     		du = 391.728535654171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24443360)-sin(1.24437212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.320658112167159)×R²
    abs(-1.33705600--1.33724775)×5.82341548032717e-05×R²
    0.000191749999999935×5.82341548032717e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.82341548032717e-05×40589641000000     		ar = 153421.857186997m²