Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 941 / 478
↖ ↑ ↗
← N 68.784144°
W 14.589844°		 ← 7 073.35 m → N 68.784144°
W 14.414063°		 →
↑
7 083.47 m
↓
↑
7 083.47 m
↓
N 68.720440°
W 14.589844°		 ← 7 093.60 m →
50 175 575 m²		 N 68.720440°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459716796875 y=0.233642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459716796875 × 211)
    floor (0.459716796875 × 2048)
    floor (941.5)     		tx = 941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233642578125 × 211)
    floor (0.233642578125 × 2048)
    floor (478.5)     		ty = 478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 941 / 478 ti = "11/941/478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/941/478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 941 ÷ 211
    941 ÷ 2048     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 478 ÷ 211
    478 ÷ 2048     		y = 0.2333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2333984375 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67510702032324))-π/2
    2×atan(5.33936653923039)-π/2
    2×1.3856530544555-π/2
    2.77130610891099-1.57079632675     		φ = 1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 941 KachelY 478 -0.25464081 1.20050978 -14.589844 68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 942 KachelY 478 -0.25157285 1.20050978 -14.414063 68.784144
    Unten links KachelX 941 KachelY + 1 479 -0.25464081 1.19939795 -14.589844 68.720440
    Unten rechts KachelX + 1 942 KachelY + 1 479 -0.25157285 1.19939795 -14.414063 68.720440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20050978-1.19939795) × R
    0.00111182999999992 × 6371000     		dl = 7083.46892999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20050978-1.19939795) × R
    0.00111182999999992 × 6371000     		dr = 7083.46892999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25157285) × cos(1.20050978) × R
    0.00306795999999998 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 7073.34704970461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25157285) × cos(1.19939795) × R
    0.00306795999999998 × 0.362918822903626 × 6371000     		du = 7093.60157173303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20050978)-sin(1.19939795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.362918822903626)×R²
    abs(-0.25157285--0.25464081)×0.0010362503755949×R²
    0.00306795999999998×0.0010362503755949×6371000²
    0.00306795999999998×0.0010362503755949×40589641000000     		ar = 50175575.3651972m²