Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9405 / 6975
↖ ↑ ↗
← N 25.819672°
E 26.652832°		 ← 2 199.36 m → N 25.819672°
E 26.674805°		 →
↑
2 199.52 m
↓
↑
2 199.52 m
↓
N 25.799891°
E 26.652832°		 ← 2 199.73 m →
4 837 959 m²		 N 25.799891°
E 26.674805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574066162109375 y=0.425750732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574066162109375 × 214)
    floor (0.574066162109375 × 16384)
    floor (9405.5)     		tx = 9405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425750732421875 × 214)
    floor (0.425750732421875 × 16384)
    floor (6975.5)     		ty = 6975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9405 / 6975 ti = "14/9405/6975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9405/6975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9405 ÷ 214
    9405 ÷ 16384     		x = 0.57403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6975 ÷ 214
    6975 ÷ 16384     		y = 0.42572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57403564453125 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42572021484375 × 2 - 1) × π
    0.1485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.466713654700867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46517967} λ = 0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466713654700867))-π/2
    2×atan(1.5947446903859)-π/2
    2×1.01071730699441-π/2
    2.02143461398882-1.57079632675     		φ = 0.45063829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45063829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.819672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9405 KachelY 6975 0.46517967 0.45063829 26.652832 25.819672
    Oben rechts KachelX + 1 9406 KachelY 6975 0.46556317 0.45063829 26.674805 25.819672
    Unten links KachelX 9405 KachelY + 1 6976 0.46517967 0.45029305 26.652832 25.799891
    Unten rechts KachelX + 1 9406 KachelY + 1 6976 0.46556317 0.45029305 26.674805 25.799891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45063829-0.45029305) × R
    0.000345240000000024 × 6371000     		dl = 2199.52404000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45063829-0.45029305) × R
    0.000345240000000024 × 6371000     		dr = 2199.52404000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46517967-0.46556317) × cos(0.45063829) × R
    0.000383500000000037 × 0.900169284793334 × 6371000     		do = 2199.36425989614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46517967-0.46556317) × cos(0.45029305) × R
    0.000383500000000037 × 0.900319597040296 × 6371000     		du = 2199.73151457743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45063829)-sin(0.45029305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900169284793334-0.900319597040296)×R²
    abs(0.46556317-0.46517967)×0.000150312246962492×R²
    0.000383500000000037×0.000150312246962492×6371000²
    0.000383500000000037×0.000150312246962492×40589641000000     		ar = 4837958.50316175m²