Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9404 / 5380
↖ ↑ ↗
← N 81.720024°
W128.342285°		 ← 87.97 m → N 81.720024°
W128.336792°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
N 81.719233°
W128.342285°		 ← 87.98 m →
7 740 m²		 N 81.719233°
W128.336792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143501281738281 y=0.0820999145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143501281738281 × 216)
    floor (0.143501281738281 × 65536)
    floor (9404.5)     		tx = 9404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820999145507812 × 216)
    floor (0.0820999145507812 × 65536)
    floor (5380.5)     		ty = 5380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9404 / 5380 ti = "16/9404/5380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9404/5380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9404 ÷ 216
    9404 ÷ 65536     		x = 0.14349365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5380 ÷ 216
    5380 ÷ 65536     		y = 0.08209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.7130126953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23999545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08209228515625 × 2 - 1) × π
    0.8358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6257916135882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23999545} λ = -2.23999545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6257916135882))-π/2
    2×atan(13.8155064010461)-π/2
    2×1.49853990457001-π/2
    2.99707980914003-1.57079632675     		φ = 1.42628348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23999545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.342285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42628348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.720024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9404 KachelY 5380 -2.23999545 1.42628348 -128.342285 81.720024
    Oben rechts KachelX + 1 9405 KachelY 5380 -2.23989957 1.42628348 -128.336792 81.720024
    Unten links KachelX 9404 KachelY + 1 5381 -2.23999545 1.42626967 -128.342285 81.719233
    Unten rechts KachelX + 1 9405 KachelY + 1 5381 -2.23989957 1.42626967 -128.336792 81.719233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42628348-1.42626967) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42628348-1.42626967) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23999545--2.23989957) × cos(1.42628348) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144010371610734 × 6371000     		do = 87.9689486337089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23999545--2.23989957) × cos(1.42626967) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144024037644024 × 6371000     		du = 87.9772965503703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42628348)-sin(1.42626967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144010371610734-0.144024037644024)×R²
    abs(-2.23989957--2.23999545)×1.36660332908101e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36660332908101e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36660332908101e-05×40589641000000     		ar = 7740.18411148142m²