Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9403 / 6971
↖ ↑ ↗
← N 25.898762°
E 26.608887°		 ← 2 197.89 m → N 25.898762°
E 26.630859°		 →
↑
2 198.06 m
↓
↑
2 198.06 m
↓
N 25.878994°
E 26.608887°		 ← 2 198.26 m →
4 831 503 m²		 N 25.878994°
E 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573944091796875 y=0.425506591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573944091796875 × 214)
    floor (0.573944091796875 × 16384)
    floor (9403.5)     		tx = 9403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425506591796875 × 214)
    floor (0.425506591796875 × 16384)
    floor (6971.5)     		ty = 6971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9403 / 6971 ti = "14/9403/6971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9403/6971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9403 ÷ 214
    9403 ÷ 16384     		x = 0.57391357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6971 ÷ 214
    6971 ÷ 16384     		y = 0.42547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57391357421875 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46441268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42547607421875 × 2 - 1) × π
    0.1490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.468247635488709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46441268} λ = 0.46441268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468247635488709))-π/2
    2×atan(1.59719287535675)-π/2
    2×1.01140749738307-π/2
    2.02281499476613-1.57079632675     		φ = 0.45201867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46441268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45201867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.898762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9403 KachelY 6971 0.46441268 0.45201867 26.608887 25.898762
    Oben rechts KachelX + 1 9404 KachelY 6971 0.46479618 0.45201867 26.630859 25.898762
    Unten links KachelX 9403 KachelY + 1 6972 0.46441268 0.45167366 26.608887 25.878994
    Unten rechts KachelX + 1 9404 KachelY + 1 6972 0.46479618 0.45167366 26.630859 25.878994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45201867-0.45167366) × R
    0.000345010000000034 × 6371000     		dl = 2198.05871000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45201867-0.45167366) × R
    0.000345010000000034 × 6371000     		dr = 2198.05871000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46441268-0.46479618) × cos(0.45201867) × R
    0.000383499999999981 × 0.89956721640107 × 6371000     		do = 2197.89323913747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46441268-0.46479618) × cos(0.45167366) × R
    0.000383499999999981 × 0.899717857138809 × 6371000     		du = 2198.26129641322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45201867)-sin(0.45167366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89956721640107-0.899717857138809)×R²
    abs(0.46479618-0.46441268)×0.000150640737739294×R²
    0.000383499999999981×0.000150640737739294×6371000²
    0.000383499999999981×0.000150640737739294×40589641000000     		ar = 4831502.93161294m²